解析:(Ⅰ)由題意得 又.解得.．因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“Jk型”數(shù)列．

（1）若數(shù)列是“J2型”數(shù)列，且，，求；

（2）若數(shù)列既是“J3型”數(shù)列，又是“J4型”數(shù)列，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數(shù)列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j4型”數(shù)列，得，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為t. 由{}是“j3型”數(shù)列，得

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

 

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設(shè)橢圓 ：（）的一個頂點(diǎn)為，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過橢圓右焦點(diǎn) 的直線  與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線 ，使得 ，若存在，求出直線  的方程；若不存在，說明理由；

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。（1）中橢圓的頂點(diǎn)為，即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">，得到，然后求解得到橢圓方程（2）中，對直線分為兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，當(dāng)直線斜率不存在時，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。

解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，即

，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

（2）由題可知,直線與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．                    --------5分

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)存在直線為，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直線的方程為或 

即或

 

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已知函數(shù)的圖像上兩相鄰最高點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（Ⅰ）求與的值；（Ⅱ）在中，分別是角的對邊，且求的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

第一問中，利用所以由題意知：，；第二問中，，即，又，

則，解得，

所以

結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)值域得到。

解：（Ⅰ），

所以由題意知：，；

（Ⅱ），即，又，

則，解得，

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224545151178994_ST.files/image021.png">，所以，所以

 

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已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。

（1）問中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角關(guān)系是，結(jié)合，解得。

（2）由，解得，，結(jié)合二倍角公式，和,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②聯(lián)立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

將①代入②中，可得   ③    …………………4分

將③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，從而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

綜上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

綜上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，

 

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點(diǎn)（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">，即，

所以．

即．

所以，解得．

因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．

于是存在直線L1滿足條件，其方程為y=1/2x

 

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：設(shè)＝，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率.當(dāng)該直線kx－y＝0與圓相切時，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），作PA垂直于準(zhǔn)線x＝－1，則

｜PA｜＝｜PF｜，當(dāng)A、P、Q在同一條直線上時，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此時，點(diǎn)P到Q點(diǎn)距離與拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值，

P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，有1＝4x，x＝，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1），故選A。

11.（理） B提示：設(shè)則

又。

12.A    提示:如右圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點(diǎn),F1為焦點(diǎn),可得其準(zhǔn)線的方

程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點(diǎn)P為雙曲線上的點(diǎn),根據(jù)雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.

二、填空題：13-16文理    3   35

 

 

 

 

 

 

九、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)

一  選擇題

1．與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 （   ）

A．2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示： 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點(diǎn)時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點(diǎn)時，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.

2．在中，三內(nèi)角所對的邊是且成等差數(shù)列，那么直線與直線的位置關(guān)系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差數(shù)列，

又，

，故兩直線重合。選B。

3.已知函數(shù)，集合，集合，則集合的面積是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即為：，集合即為： ，其面積等于半圓面積。

4．（文）已知直線m：交x軸于M，E是直線m上的點(diǎn)，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且，則動點(diǎn)P的軌跡是(  )

A．圓   B．橢圓   C．雙曲線    D．拋物線

4．（文）D．

4．（理）已知P在雙曲線上變動，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的重心G的軌跡方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(6，0)．設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，

得，解得，代入，得為所求．

5.已知是三角形的一個內(nèi)角，且，則方程表示（　　　）

A.焦點(diǎn)在軸上的橢圓　　　　　B.焦點(diǎn)在軸上的橢圓

C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線　　　　D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線

5.B提示：由，又是三角形的一個內(nèi)角，故，

再由，

結(jié)合解得

。

故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。選B。

或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定。

6.過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。� 　　 ）

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無窮多條      D.不存在

6.B提示：該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者（1）當(dāng)該直線的斜率不存在時，它們的橫坐標(biāo)之和等于2；

（2）當(dāng)該直線的斜率存在時，設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程得

，由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，（2，）是橢圓上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為　　　　　　　　　　　�。ā　　。�

A.     B.    C.     D.

7.A提示：設(shè)橢圓方程為，由成等差數(shù)列知，從而，故橢圓方程為，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點(diǎn)的三角形形狀為（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示：由兩點(diǎn)間距離公式，得，，故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（�。�

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿足

。選D。

10. （文）設(shè)離心率為e的雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（　�。�

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知兩個點(diǎn)M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①②③④。其中屬于“B型直線”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知設(shè)漸近線的斜率為于是

，即故選C；

10. （理）B 提示：理解為以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點(diǎn)，又漸近線為：，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點(diǎn)，故選B；

11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故選B項(xiàng)。

12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點(diǎn), 則△F1AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：設(shè)AB的方程為，代入橢圓方程得，。選B。

二  填空題

13.橢圓M：=1 (a>b>0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且 的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為  n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長等于         

           

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是                               。

15. 提示：滿足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中

①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

②過定圓C上一定點(diǎn)A作該圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動點(diǎn)的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點(diǎn).

其中真命題的序號為                 （寫出所有真命題的序號）

16. ③、④

三  解答題（７４分）

17. （本小題滿分12分）已知，直線：和圓：．

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓�。繛槭裁�？

解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．

所以，斜率的取值范圍是．

（2）不能．由（1）知的方程為，其中．

圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段�。�

18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于△ABC，求的值

18.解：（1）由題意知：

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.        

（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點(diǎn)，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個焦點(diǎn)是(為大于0的常數(shù)).

 （1）求橢圓的方程;

 （2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn),且過點(diǎn)

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