題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（I）求橢圓
的方程；
（II）若過點
（2，0）的直線與橢圓相交于兩點
，設(shè)
為橢圓上一點，且滿足
（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)
＜
時，求實數(shù)
的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
第一問中，利用
第二問中，利用直線與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中
，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。
解：（1）由題意知
（本題滿分14分）已知橢圓
經(jīng)過點
，
為坐標(biāo)原點，平行于
的直線
在
軸上的截距為
.
（1）當(dāng)
時，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系（寫出結(jié)論，不需證明）；
（2）當(dāng)時，
為橢圓上的動點，求點到直線 距離的最小值；
（3）如圖，當(dāng)交橢圓于
、
兩個不同點時，求證：直線
、
與
軸始終圍成一個等腰三角形.
（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）
我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。
（1）設(shè)F1、F2是橢圓
的兩個焦點，點F1、F2到直線
的距離分別為d1、d2，試求d1·d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。
（2）設(shè)F1、F2是橢圓
的兩個焦點，點F1、F2到直線 
（m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1·d2的值。
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。
已知中心在原點O，焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線
的焦點為F1.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到
，又因為
，這樣可知得到
。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
，再利用
可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分
代入橢圓E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，當(dāng)m=－3時，直線l方程為y=-x－3，
圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為
，它與直線
相交于P、Q兩點，若
，求橢圓方程。
【解析】本試題主要考查了利用橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系我們求解橢圓的方程的試題�？疾榱送瑢W(xué)們運用代數(shù)的方法來解決幾何問題的能力。
一、選擇題
1-5 BBAB 文B理A 6-10 ADCBC 11-12文B理D A
6.A 提示：設(shè)
＝
，則
表示點
與點（0，0）連線的斜率.當(dāng)該直線kx－y＝0與圓相切時，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由
＝1，解得
，∴
的最大值為
.11.(文) B
11.(文) A 提示：拋物線的焦點為F（1，0），作PA垂直于準(zhǔn)線x＝－1，則
｜PA｜＝｜PF｜，當(dāng)A、P、Q在同一條直線上時，
｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，
此時，點P到Q點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值，
P點的縱坐標(biāo)為－1，有1＝4x，x＝
，此時P點坐標(biāo)為（，－1），故選A。
11.（理） B提示：設(shè)
則
又
。
12.A 提示:如右圖所示,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點,F1為焦點,可得其準(zhǔn)線的方
程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點P為雙曲線上的點,根據(jù)雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.
二、填空題：13-16文
理
3 35
九、實戰(zhàn)演習(xí)
一 選擇題
1．與圓
相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 （ ）
A．2條 B.3條 C.4條 D.6條
1.C提示： 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設(shè)其方程為
，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.
2．在
中，三內(nèi)角
所對的邊是
且
成等差數(shù)列，那么直線
與直線
的位置關(guān)系是 （ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2.B提示：成等差數(shù)列
，
又
，
，故兩直線重合。選B。
3.已知函數(shù)
，集合
，集合
，則集合
的面積是
A．
B． 
C．
D． 
3.D提示： 集合
即為：
，集合
即為： 
，其面積等于半圓面積。
4．（文）已知直線m：
交x軸于M，E是直線m上的點，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且
，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
4．（文）D．
4．（理）已知P在雙曲線
上變動，O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，則
的重心G的軌跡方程是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
4．（理）C．提示：雙曲線焦點坐標(biāo)是F(6，0)．設(shè)雙曲線上任一點P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，
得
，解得
，代入
，得為所求．
5.已知
是三角形的一個內(nèi)角，且
，則方程
表示（ �。�
A.焦點在
軸上的橢圓 B.焦點在
軸上的橢圓
C.焦點在軸上的雙曲線 D.焦點在軸上的雙曲線
5.B提示：由
，又是三角形的一個內(nèi)角，故
，
再由
，
結(jié)合解得
。
故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。
或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定
。
6.過拋物線
的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 �。�
）
A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在
6.B提示：該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為
，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。
或者（1）當(dāng)該直線的斜率不存在時，它們的橫坐標(biāo)之和等于2；
（2）當(dāng)該直線的斜率存在時，設(shè)該直線方程為
，代入拋物線方程得
，由
。故這樣的直線有且僅有兩條。
7.一個橢圓中心在原點，焦點
在軸上，
（2，
）是橢圓上一點，且
成等差數(shù)列，則橢圓方程為 �。ā 。�
A.
B.
C.
D.
7.A提示：設(shè)橢圓方程為
，由成等差數(shù)列知
，從而
，故橢圓方程為
，將P點的坐標(biāo)代入得
，故所求的橢圓方程為。選A。
8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點的三角形形狀為（ ）
A .直角三角形 B. 等腰三角形 C.非等腰三角形三角形 D.等邊三角形
8. B.提示：由兩點間距離公式，得
，
，故選B.
9. 若直線
與雙曲線
的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（�。�
A．
，
B．
， C．，
D．，
9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得
若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則應(yīng)滿足
。選D。
10. （文）設(shè)離心率為e的雙曲線
的右焦點為F，直線
過點F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10. （理）已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①
②
③
④
。其中屬于“B型直線”的是（
）
A、①③ B、①② C、③④ D、①④
10. （文）C 提示：由已知設(shè)漸近線的斜率為
于是
，即
故選C；
10.
（理）B 提示：理解為以M、N為焦點的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線
的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點，又漸近線為：
，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點，故選B；
11.已知雙曲線
的左、右焦點分別為
，點P在雙曲線上，且
，則此雙曲線的離心率
的最大值為 （ ）
A、
B、
C、
D、2
11.B提示：
，
由 
又
∴
故選B項。
12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點, 則△F1AB面積的最大值為( )
A. 6 B.12 C.24 D.48
12.B提示：設(shè)AB的方程為
，代入橢圓方程得
，
。選B。
二 填空題
13.橢圓M：
=1 (a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且
的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中
. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是
13. 
14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠(yuǎn)地點為 n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于
14. 2
提示： 
－c=m+R， +c=n+R，
∴c=
，b=2
=2.
15. 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點的軌跡方程是 。
15. 
提示：
滿足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y,
代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)=
(x>1,y>1)。
16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，
，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若
則動點
的軌跡為橢圓；③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
有相同的焦點.
其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）
16. ③、④
三 解答題（７４分）
17. （本小題滿分12分）已知
，直線
：
和圓
：
．
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓��？為什么？
解析：（1）直線的方程可化為
，直線的斜率
，因為
，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立．
所以，斜率的取值范圍是
．
（2）不能．由（1）知的方程為
，其中
．
圓的圓心為
，半徑
．圓心到直線的距離
．
由，得
，即
．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于
．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段�。�
18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓
的左右兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P
）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求
的值
18.解：（1）由題意知：
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
=1.
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點，
∴AC＋BC＝2a＝
，AB＝2c＝2 .
在△ABC中，由正弦定理，
，
∴＝
.
19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是
(
為大于0的常數(shù)).
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)
是橢圓上一點,且過點
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