19．解：

連接BD交AC于O，則BD⊥AC，

連接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁?Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A₁（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

則

∴BD⊥AA₁……………………4分

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

設(shè)⊥平面AA₁D

則

得到……………………6分

所以二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假設(shè)在直線CC₁上存在點P，使BP//平面DA₁C₁

設(shè)

則

得……………………9分

設(shè)

則設(shè)

得到……………………10分

又因為平面DA₁C₁

則?

即點P在C₁C的延長線上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于點O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面為菱形，所以AC⊥BD

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