第十部分 磁場

第一講 基本知識介紹

《磁場》部分在奧賽考剛中的考點(diǎn)很少，和高考要求的區(qū)別不是很大，只是在兩處有深化：a、電流的磁場引進(jìn)定量計算；b、對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動進(jìn)行了更深入的分析。

一、磁場與安培力

1、磁場

a、永磁體、電流磁場→磁現(xiàn)象的電本質(zhì)

b、磁感強(qiáng)度、磁通量

c、穩(wěn)恒電流的磁場

*畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savart law）：對于電流強(qiáng)度為I 、長度為dI的導(dǎo)體元段，在距離為r的點(diǎn)激發(fā)的“元磁感應(yīng)強(qiáng)度”為dB 。矢量式d= k，（d表示導(dǎo)體元段的方向沿電流的方向、為導(dǎo)體元段到考查點(diǎn)的方向矢量）；或用大小關(guān)系式dB = k結(jié)合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0×10^?7N/A² 。應(yīng)用畢薩定律再結(jié)合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導(dǎo)線在任何位置激發(fā)的磁感強(qiáng)度。

畢薩定律應(yīng)用在“無限長”直導(dǎo)線的結(jié)論：B = 2k ；

*畢薩定律應(yīng)用在環(huán)形電流垂直中心軸線上的結(jié)論：B = 2πkI ；

*畢薩定律應(yīng)用在“無限長”螺線管內(nèi)部的結(jié)論：B = 2πknI 。其中n為單位長度螺線管的匝數(shù)。

2、安培力

a、對直導(dǎo)體，矢量式為 = I；或表達(dá)為大小關(guān)系式 F = BILsinθ再結(jié)合“左手定則”解決方向問題（θ為B與L的夾角）。

b、彎曲導(dǎo)體的安培力

⑴整體合力

折線導(dǎo)體所受安培力的合力等于連接始末端連線導(dǎo)體（電流不變）的的安培力。

證明：參照圖9-1，令MN段導(dǎo)體的安培力F₁與NO段導(dǎo)體的安培力F₂的合力為F，則F的大小為

F = 

  = BI

  = BI

關(guān)于F的方向，由于ΔFF₂P∽ΔMNO，可以證明圖9-1中的兩個灰色三角形相似，這也就證明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（這個證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點(diǎn)了。

證畢。

由于連續(xù)彎曲的導(dǎo)體可以看成是無窮多元段直線導(dǎo)體的折合，所以，關(guān)于折線導(dǎo)體整體合力的結(jié)論也適用于彎曲導(dǎo)體。（說明：這個結(jié)論只適用于勻強(qiáng)磁場。）

⑵導(dǎo)體的內(nèi)張力

彎曲導(dǎo)體在平衡或加速的情形下，均會出現(xiàn)內(nèi)張力，具體分析時，可將導(dǎo)體在被考查點(diǎn)切斷，再將被切斷的某一部分隔離，列平衡方程或動力學(xué)方程求解。

c、勻強(qiáng)磁場對線圈的轉(zhuǎn)矩

如圖9-2所示，當(dāng)一個矩形線圈（線圈面積為S、通以恒定電流I）放入勻強(qiáng)磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時，線圈受安培力將轉(zhuǎn)動（并自動選擇垂直B的中心軸OO′，因為質(zhì)心無加速度），此瞬時的力矩為

M = BIS

幾種情形的討論——

⑴增加匝數(shù)至N ，則 M = NBIS ；

⑵轉(zhuǎn)軸平移，結(jié)論不變（證明從略）；

⑶線圈形狀改變，結(jié)論不變（證明從略）；

*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉(zhuǎn)α角，則M = BIScosα ，如圖9-3；

證明：當(dāng)α = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有垂直轉(zhuǎn)軸的的分量Bcosα才能產(chǎn)生力矩…

⑸磁場B垂直O(jiān)O′軸相對線圈平面旋轉(zhuǎn)β角，則M = BIScosβ ，如圖9-4。

證明：當(dāng)β = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的分量Bcosβ才能產(chǎn)生力矩…

說明：在默認(rèn)的情況下，討論線圈的轉(zhuǎn)矩時，認(rèn)為線圈的轉(zhuǎn)軸垂直磁場。如果沒有人為設(shè)定，而是讓安培力自行選定轉(zhuǎn)軸，這時的力矩稱為力偶矩。

二、洛侖茲力

1、概念與規(guī)律

a、 = q，或展開為f = qvBsinθ再結(jié)合左、右手定則確定方向（其中θ為與的夾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)。

b、能量性質(zhì)

由于總垂直與確定的平面，故總垂直 ，只能起到改變速度方向的作用。結(jié)論：洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量，卻不可能做功。或：洛侖茲力可使帶電粒子的動量發(fā)生改變卻不能使其動能發(fā)生改變。

問題：安培力可以做功，為什么洛侖茲力不能做功？

解說：應(yīng)該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)”這句話的確切含義——“宏觀體現(xiàn)”和“完全相等”是有區(qū)別的。我們可以分兩種情形看這個問題：（1）導(dǎo)體靜止時，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個證明從略）；（2）導(dǎo)體運(yùn)動時，粒子參與的是沿導(dǎo)體棒的運(yùn)動v₁和導(dǎo)體運(yùn)動v₂的合運(yùn)動，其合速度為v ，這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導(dǎo)體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f₁ = qv₁B的合力（見圖9-5）。

很顯然，f₁的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者說f₁的正功和f₂的負(fù)功的代數(shù)和為零）。（事實上，由于電子定向移動速率v₁在10^?5m/s數(shù)量級，而v₂一般都在10^?2m/s數(shù)量級以上，致使f₁只是f的一個極小分量。）

☆如果從能量的角度看這個問題，當(dāng)導(dǎo)體棒放在光滑的導(dǎo)軌上時（參看圖9-6），導(dǎo)體棒必獲得動能，這個動能是怎么轉(zhuǎn)化來的呢？

若先將導(dǎo)體棒卡住，回路中形成穩(wěn)恒的電流，電流的功轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱。而將導(dǎo)體棒釋放后，導(dǎo)體棒受安培力加速，將形成感應(yīng)電動勢（反電動勢）。動力學(xué)分析可知，導(dǎo)體棒的最后穩(wěn)定狀態(tài)是勻速運(yùn)動（感應(yīng)電動勢等于電源電動勢，回路電流為零）。由于達(dá)到穩(wěn)定速度前的回路電流是逐漸減小的，故在相同時間內(nèi)發(fā)的焦耳熱將比導(dǎo)體棒被卡住時少。所以，導(dǎo)體棒動能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價的。

2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運(yùn)動

a、⊥時，勻速圓周運(yùn)動，半徑r =  ，周期T = 

b、與成一般夾角θ時，做等螺距螺旋運(yùn)動，半徑r =  ，螺距d = 

這個結(jié)論的證明一般是將分解…（過程從略）。

☆但也有一個問題，如果將分解（成垂直速度分量B₂和平行速度分量B₁ ，如圖9-7所示），粒子的運(yùn)動情形似乎就不一樣了——在垂直B₂的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動？

其實，在圖9-7中，B₁平行v只是一種暫時的現(xiàn)象，一旦受B₂的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B₁了。當(dāng)B₁施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運(yùn)動”就無法達(dá)成了。（而在分解v的處理中，這種局面是不會出現(xiàn)的。）

3、磁聚焦

a、結(jié)構(gòu)：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強(qiáng)磁場。

b、原理：由于控制極和共軸膜片的存在，電子進(jìn)磁場的發(fā)散角極小，即速度和磁場的夾角θ極小，各粒子做螺旋運(yùn)動時可以認(rèn)為螺距彼此相等（半徑可以不等），故所有粒子會“聚焦”在熒光屏上的P點(diǎn)。

4、回旋加速器

a、結(jié)構(gòu)&原理（注意加速時間應(yīng)忽略）

b、磁場與交變電場頻率的關(guān)系

因回旋周期T和交變電場周期T′必相等，故 =

c、最大速度 v_max = = 2πRf

5、質(zhì)譜儀

速度選擇器&粒子圓周運(yùn)動，和高考要求相同。

第二講 典型例題解析

一、磁場與安培力的計算

【例題1】兩根無限長的平行直導(dǎo)線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導(dǎo)線之間且在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)的、與a導(dǎo)線相距10cm的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。

【解說】這是一個關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略。

【答案】大小為8.0×10^?6T ，方向在圖9-9中垂直紙面向外。

【例題2】半徑為R ，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強(qiáng)度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強(qiáng)磁場中，求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力。

【解說】本題有兩種解法。

方法一：隔離一小段弧，對應(yīng)圓心角θ ，則弧長L = θR 。因為θ →

 選做題(請從A、B和C三小題中選定兩小題作答，并在答題紙上把所選題目對應(yīng)字母后的方框涂滿涂黑．如都作答則按A、B兩小題評分)

A．(選修模塊3—3)  (12分)

⑴有以下說法，其中正確的是         ．

A．在兩分子間距離增大的過程中，分子間的作用力減小

B．布朗運(yùn)動反映了花粉小顆粒內(nèi)部分子的無規(guī)則運(yùn)動

C．晶體一定具有規(guī)則形狀，且有各向異性的特征

D．溫度、壓力、電磁作用等可以改變液晶的光學(xué)性質(zhì)

⑵一定質(zhì)量的理想氣體從狀態(tài)A(p₁、V₁)開始做等壓膨脹變化到

狀態(tài)B(p₁、V₂)，狀態(tài)變化如圖中實線所示．此過程中氣體對外做的功為  ▲ ，氣體分

子的平均動能  ▲  （選填“增大”“減小”或“不變”）， 氣體 ▲ （選填“吸收”或“放出”）

熱量．

⑶已知地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，大氣壓強(qiáng)p₀，空氣的平均摩爾質(zhì)量為M，

阿伏加德羅常數(shù)N_A．請結(jié)合所提供的物理量估算出地球周圍大氣層空氣的分子數(shù)．

B．(選修模塊3—4) (12分)

⑴下列說法正確的是   ▲  

A．泊松亮斑有力地支持了光的微粒說，楊氏干涉實驗有力地支持了光的波動說。

B．從接收到的高頻信號中還原出所攜帶的聲音或圖像信號的過程稱為解調(diào)

C．當(dāng)波源或者接受者相對于介質(zhì)運(yùn)動時，接受者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫多普勒效應(yīng)。

D．考慮相對論效應(yīng)，一條沿自身長度方向運(yùn)動的桿，其長度總比桿

  靜止時的長度小

⑵如圖所示，為黃光、藍(lán)光分別通過同一干涉裝置形成的干涉條紋中心部

分。則圖甲為  ▲  產(chǎn)生的干涉條紋（選填“黃光”或“藍(lán)光”）．若將兩

種顏色的光以同樣的入射角入射到兩種物質(zhì)的介面上，圖甲對應(yīng)的色

光發(fā)生了全反射，則圖乙對應(yīng)的色光  ▲ （選填“一定”、“可能”或“不

可能”）發(fā)生全反射．

⑶圖中實線和虛線分別是x軸上傳播的一列簡諧橫波在t=0和t=0.3s時刻的波形圖，x=1.2m處的質(zhì)點(diǎn)在t=0.3s時刻向y軸正方向運(yùn)動。

求：

①波的傳播方向和周期；

②波的傳播波速

C． (選修3-5試題) (12分)

⑴(4分)下列說法正確的是   ▲  

A．原子核內(nèi)部某個中子轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子和電子，產(chǎn)生的電子從原子核中發(fā)射出來，這就是β衰變

B．比結(jié)合能小的原子核結(jié)合成或分解成比結(jié)合能大的原子核時一定吸收核能

C．根據(jù)玻爾理論可知，氫原子輻射出一個光子后，氫原子的電勢能增大，核外電子的運(yùn)動速度減小。

D．德布羅意在愛因斯坦光子說的基礎(chǔ)上提出物質(zhì)波的概念，認(rèn)為一切物體都具有波粒二象性。

⑵(4分)）現(xiàn)用下列幾種能量的光子的光照射處于

  基態(tài)的氫原子，A：10.25eV、B：12.09eV、C：

12.45eV，則能被氫原子吸收的光子是  ▲ （填

序號），氫原子吸收該光子后可能產(chǎn)生 ▲  種

頻率的光子．氫原子能級圖為：

⑶ (4分) 如圖(a)所示，在水平光滑軌道上停著甲、乙兩輛實驗小車，甲車系一穿過打點(diǎn)

計時器的紙帶，當(dāng)甲車受到水平向右的瞬時沖量時，隨即啟動打點(diǎn)計時器，甲車運(yùn)動一

段距離后，與靜止的乙車發(fā)生正碰并粘在一起運(yùn)動，紙帶記錄下碰撞前甲車和碰撞后兩

車運(yùn)動情況如圖（b）所示，電源頻率為50Hz，求：甲、乙兩車的質(zhì)量比m_甲：m_乙

 選做題(請從A、B和C三小題中選定兩小題作答，并在答題紙上把所選題目對應(yīng)字母后的方框涂滿涂黑．如都作答則按A、B兩小題評分)

A．(選修模塊3—3)  (12分)

⑴有以下說法，其中正確的是         ．

A．在兩分子間距離增大的過程中，分子間的作用力減小

B．布朗運(yùn)動反映了花粉小顆粒內(nèi)部分子的無規(guī)則運(yùn)動

C．晶體一定具有規(guī)則形狀，且有各向異性的特征

D．溫度、壓力、電磁作用等可以改變液晶的光學(xué)性質(zhì)

⑵一定質(zhì)量的理想氣體從狀態(tài)A(p₁、V₁)開始做等壓膨脹變化到

狀態(tài)B(p₁、V₂)，狀態(tài)變化如圖中實線所示．此過程中氣體對外做的功為  ▲ ，氣體分

子的平均動能  ▲  （選填“增大”“減小”或“不變”）， 氣體 ▲ （選填“吸收”或“放出”）

熱量．

⑶已知地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，大氣壓強(qiáng)p₀，空氣的平均摩爾質(zhì)量為M，

阿伏加德羅常數(shù)N_A．請結(jié)合所提供的物理量估算出地球周圍大氣層空氣的分子數(shù)．

B．(選修模塊3—4) (12分)

⑴下列說法正確的是   ▲  

A．泊松亮斑有力地支持了光的微粒說，楊氏干涉實驗有力地支持了光的波動說。

B．從接收到的高頻信號中還原出所攜帶的聲音或圖像信號的過程稱為解調(diào)

C．當(dāng)波源或者接受者相對于介質(zhì)運(yùn)動時，接受者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫多普勒效應(yīng)。

D．考慮相對論效應(yīng)，一條沿自身長度方向運(yùn)動的桿，其長度總比桿

   靜止時的長度小

⑵如圖所示，為黃光、藍(lán)光分別通過同一干涉裝置形成的干涉條紋中心部

分。則圖甲為  ▲  產(chǎn)生的干涉條紋（選填“黃光”或“藍(lán)光”）．若將兩

種顏色的光以同樣的入射角入射到兩種物質(zhì)的介面上，圖甲對應(yīng)的色

光發(fā)生了全反射，則圖乙對應(yīng)的色光  ▲ （選填“一定”、“可能”或“不

可能”）發(fā)生全反射．

⑶圖中實線和虛線分別是x軸上傳播的一列簡諧橫波在t=0和t=0.3s時刻的波形圖，x=1.2m處的質(zhì)點(diǎn)在t=0.3s時刻向y軸正方向運(yùn)動。

求：

①波的傳播方向和周期；

②波的傳播波速

C． (選修3-5試題) (12分)

⑴(4分)下列說法正確的是   ▲  

A．原子核內(nèi)部某個中子轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子和電子，產(chǎn)生的電子從原子核中發(fā)射出來，這就是β衰變

B．比結(jié)合能小的原子核結(jié)合成或分解成比結(jié)合能大的原子核時一定吸收核能

C．根據(jù)玻爾理論可知，氫原子輻射出一個光子后，氫原子的電勢能增大，核外電子的運(yùn)動速度減小。

D．德布羅意在愛因斯坦光子說的基礎(chǔ)上提出物質(zhì)波的概念，認(rèn)為一切物體都具有波粒二象性。

⑵(4分)）現(xiàn)用下列幾種能量的光子的光照射處于

  基態(tài)的氫原子，A：10.25eV、B：12.09eV、C：

12.45eV，則能被氫原子吸收的光子是  ▲ （填

序號），氫原子吸收該光子后可能產(chǎn)生 ▲  種

頻率的光子．氫原子能級圖為：

⑶ (4分) 如圖(a)所示，在水平光滑軌道上停著甲、乙兩輛實驗小車，甲車系一穿過打點(diǎn)

計時器的紙帶，當(dāng)甲車受到水平向右的瞬時沖量時，隨即啟動打點(diǎn)計時器，甲車運(yùn)動一

段距離后，與靜止的乙車發(fā)生正碰并粘在一起運(yùn)動，紙帶記錄下碰撞前甲車和碰撞后兩

車運(yùn)動情況如圖（b）所示，電源頻率為50Hz，求：甲、乙兩車的質(zhì)量比m_甲：m_乙