求證:(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn).并且在這一點(diǎn)互相平分. (2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體. 已知:平行六面體ABCD-A1B1C1D1 求證:(1)對(duì)角線AC1.BD1.CA1.DB1相交于一點(diǎn).且在這點(diǎn)互相平分, (2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1時(shí).該平行六面體為長方體. 證明:(1)∵AA1∥BB1.BB1∥CC1. ∴AA1∥CC1. ∴對(duì)面角A1ACC1是平行四邊形. ∴CA1與AC1相交.且互相平分. 設(shè)CA1∩AC1＝0.則O為CA1.AC1的中點(diǎn). 同理.可證DB1與AC1及AC1與D1B也相交于一點(diǎn).且互相平分. 交點(diǎn)也是O. ∴AC1.BD1.DB1.CA1交于一點(diǎn).且互相平分. (2)∵平行六面體AC1的對(duì)角線面A1C1CA.B1D1DB都是平行四邊形.且它們的對(duì)角線A1C.B1D.C1A.D1B都相等. ∴對(duì)角面A1C1AC.B1D1DB都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1 又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1 ∴BB1⊥平面A1C1 ∴平行六面體A1C是直平行六面體 同理可證:CB⊥平面A1B.則BC⊥AB. ∴平面四邊形ABCD是矩形. ∴直平行六面體A1C是長方體. 【查看更多】

 

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