題目列表(包括答案和解析)
已知正項數(shù)列的前n項和滿足:,
(1)求數(shù)列的通項和前n項和;
(2)求數(shù)列的前n項和;
(3)證明:不等式 對任意的,都成立.
【解析】第一問中,由于所以
兩式作差,然后得到
從而得到結(jié)論
第二問中,利用裂項求和的思想得到結(jié)論。
第三問中,
又
結(jié)合放縮法得到。
解:(1)∵ ∴
∴
∴ ∴ ………2分
又∵正項數(shù)列,∴ ∴
又n=1時,
∴ ∴數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列……………3分
∴ …………………4分
∴ …………………5分
(2) …………………6分
∴
…………………9分
(3)
…………………12分
又
,
∴不等式 對任意的,都成立.
已知等差數(shù)列{an}的首項為4,公差為4,其前n項和為Sn,則數(shù)列 {}的前n項和為( 。
| A. |
| B. |
| C. |
| D. |
|
考點: | 數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質(zhì). |
專題: | 等差數(shù)列與等比數(shù)列. |
分析: | 利用等差數(shù)列的前n項和即可得出Sn,再利用“裂項求和”即可得出數(shù)列 {}的前n項和. |
解答: | 解:∵Sn=4n+=2n2+2n, ∴. ∴數(shù)列 {}的前n項和===. 故選A. |
點評: | 熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”是解題的關(guān)鍵. |
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)設(shè),求及數(shù)列{}的通項公式;
(2)記,求數(shù)列{}的前n項和,并求.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和的運用。注意構(gòu)造等比數(shù)列的思想的運用。并能運用裂項求和。
在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 與bn;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,求{cn}的前n項和Tn.
【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項公式和求和的運用。第一問中,利用等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,,可得,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二問中,,由第一問中知道,然后利用裂項求和得到Tn.
解: (Ⅰ) 設(shè):{an}的公差為d,
因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因為……………8分
已知正數(shù)數(shù)列{an }中,a1 =2.若關(guān)于x的方程 ()對任意自然數(shù)n都有相等的實根.
(1)求a2 ,a3的值;
(2)求證
【解析】(1)中由題意得△,即,進而可得,.
(2)中由于,所以,因為,所以數(shù)列是以為首項,公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列,利用裂項求和得到不等式的證明。
(1)由題意得△,即,進而可得
(2)由于,所以,因為,所以數(shù)列是以為首項,公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列,于是
,
所以
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