設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.

（1） 當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時(shí)，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究：

① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說(shuō)明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說(shuō)明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問(wèn)利用拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問(wèn)設(shè)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問(wèn)中①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

；

所以.

（3） ①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過(guò)作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說(shuō)明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）

③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則”.此命題為真.（證略）

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……，余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)中解：由得，，

又因?yàn)榇嬖诔��?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時(shí)也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問(wèn)中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：

（i）當(dāng)時(shí)，；

（ii） 當(dāng)時(shí)，，

所以

第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當(dāng)時(shí)，

，