已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8，D為AB邊上的點，過點D作DG∥BC交AC于點G．DE⊥BC于點E，過點G作GF⊥BC于點F，把三角形紙片ABC分別沿DG，DE，GF按圖1所示方式折疊，點A，B，C分別落在點A′，B′，C′處．若點A′，B′，C′在矩形DEFG內或其邊上，且互不重合，此時我們稱△A′B′C′（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．
（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點A，B，C，D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上．如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形A′B′C′的面積；
（2）實驗探究：設AD的長為m，若重疊三角形A′B′C′存在．試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A′B′C′的面積，并寫出m的取值范圍．（直接寫出結果）

估計這所學校有1500名學生知道母親的生日．??????????????????????????????????????????????????? （6分）

（3）略（語言表述積極進取，健康向上即可得分）．?????????????????????????????????????????????? （7分）

２１．(本題滿分８分)

解：（1）如圖，由題意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°．

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°．

∵  AE∥BF∥CD，

∴  ∠FBC=∠EAC=60°．

∴ ∠DBC=30°．　???????????????????????????????????????? 2分

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

　　∴ ∠ADB=15°．

∴ ∠DAB=∠ADB． ∴  BD=AB=2．

　　即B，D之間的距離為2km．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ４分

（2）過B作BO⊥DC，交其延長線于點O，

　　在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°．

　　∴ DO=2×sin60°=2×,BO=2×cos60°=1．??????????????????????????????????????????????????? ６分

　　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，

　　∴ CD=DO－CO=（km）．

　　即C，D之間的距離為km． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

２２．解：（1）

（2）290，甲，20．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分（每空1分）

（3）在5月17日，甲廠生產帳篷50頂，乙廠生產帳篷30頂．???????????????????????????????????? 6分

設乙廠每天生產帳篷的數(shù)量提高了，則?????????????????????????????????????? 7分

．

答：乙廠每天生產帳篷的數(shù)量提高了．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

２３．解：（1）① 等邊三角形；②重疊三角形的面積為．?????????????????????????? 5分

（2）用含的代數(shù)式表示重疊三角形的面積為；?????????????????????????? 7分

的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）能；t=2。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分．

２４．本小題滿分1０分．

（Ⅰ）證明  將△沿直線對折，得△，連，

則△≌△．    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

有，，，．

又由，得 ．  ????????????????????????????????????????? 2分

由，

，

得． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

又，

∴△≌△．    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

有，．

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? ５分

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即． ??????????????????????????????????????????????????????? ６分

（Ⅱ）關系式仍然成立．  ???????????????????????????????????????????????????????????? ７分

證明  將△沿直線對折，得△，連，

則△≌△． ???????????????????????????????????????????????????? 8分

有，，

，．

又由，得 ．

由，

．

得．   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

又，

∴△≌△．

有，，，

∴．  

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即．????????????????????????????????????????????????????????? ９分

（３）．能；在直線ＡＢ上取點Ｍ，Ｎ使∠ＭＣＮ＝４５°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

２５．（本題滿分12分）

解：（1）設正方形的邊長為cm，則

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長為1cm．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（注：通過觀察、驗證直接寫出正確結果給3分）

（2）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm²，

則與的函數(shù)關系式為：

．

即．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

改寫為．

當時，．

即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm²．?????????????? 7分

（3）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm²．

若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

當時，．??????????????????????????????????? 9分

若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

當時，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為cm²．

說明：解答題各小題只給了一種解答及評分說明，其他解法只要步驟合理，解答正確，均應給出相應分數(shù)．

２６．（本小題滿分12分）

解：（1）在Rt△ABC中，，

由題意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．                                 ??????????????????????????????????????????????????????? 3′

（2）過點P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．    　  ??????????????????????????????????????????? 6′

（3）若PQ把△ABC周長平分，

則AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，   

解得：．

若PQ把△ABC面積平分，

則，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．???????????????? 9′

（4）過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四邊形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴當時，四邊形PQP ′ C 是菱形．     

此時，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C邊長為．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12′