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題目列表(包括答案和解析)

平面上三個(gè)力
F1
F2
、
F3
作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài),|
F1
|=1 N
,|
F2
|=
6
+
2
2
 
N
,
F1
F2
的夾角為45°,求:
(1)
F3
的大小;
(2)
F3
F1
夾角的大小.

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平面內(nèi)給定三個(gè)向量
a
=(3,2)
,
b
=(-1,2)
,
c
=(4,1)
,回答下列三個(gè)問(wèn)題:
(1)試寫(xiě)出將
a
b
c
表示的表達(dá)式;
(2)若(
a
+k
c
)⊥(2
b
-
a
)
,求實(shí)數(shù)k的值;
(3)若向量
d
滿(mǎn)足(
d
+
b
)∥(
a
-
c
)
,且|
d
-
a
|=
26
,求
d

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13、平面幾何中,正三角形中任一點(diǎn)到三條邊的距離之和為定值.類(lèi)比這一性質(zhì),在空間中相應(yīng)的結(jié)論是:
正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各面的距離之和是一個(gè)定值”;或“正多面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各面的距離之和是一個(gè)定值”.

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平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c),A(
3
c,0)三點(diǎn),其中c>0.
(1)求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程(用含c的式子表示);
(2)已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
(其中a2-b2=c2)的左、右頂點(diǎn)分別為D、B,⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C,且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè),C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè).
①求橢圓離心率的取值范圍;
②若A、B、M、O、C、D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))依次均勻分布在x軸上,問(wèn)直線MF1與直線DF2的交點(diǎn)是否在一條定直線上?若是,請(qǐng)求出這條定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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16、平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè),如兩組對(duì)邊分別平行,類(lèi)似地,寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件:
充要條件①
三組對(duì)面分別平行的四棱柱為平行六面體
;
充要條件②
平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分;

(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件)

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一、選擇題(每小題5分,共60分)

1.D  2.A   3.D   4.D   5.A   6.C   7.B   8.B   9.C   10.A    11.C    12.B

 

二、填空題(每小題5分,共20分)

13.2   14.   15.   16.③④

 

三、解答題(共70分)

17.(本小題滿(mǎn)分10分)

解:(Ⅰ)由  可得:

     又   

 .                                  --------------------------------5分

(Ⅱ),

    

.                                    ---------------------------------10分

 

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

解: 設(shè)A隊(duì)得分為2分的事件為,

(Ⅰ)∴.             ------------------4分

(Ⅱ)設(shè)A隊(duì)得分不少于2分的事件為M B隊(duì)得分不多于2分的事件為N,

由(Ⅰ)得A隊(duì)得分為2分的事件為, A隊(duì)得分為3分的事件為

B隊(duì)得分為3分的事件為,

         -   ----------------- 9分

  .                    ------------------ 12分

 

19.(本小題滿(mǎn)分12分)

解法一、

(Ⅰ)連結(jié)于點(diǎn)O,

平面,平面∩平面

又∵的中點(diǎn)

的中點(diǎn). ------------------6分

(Ⅱ)作 ,垂足為,連結(jié)

     

平面

      ∴在平面上的射影

      ∴

      ∴是二面角的平面角

,

在直角三角形中,

,

二面角的大小為.   ------------------12分

解法二、

(Ⅰ)建立如圖所示空間坐標(biāo)系

,

平面的法向量為

,

平面 ,

.

所以點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

(Ⅱ)平面的法向量,設(shè)平面的法向量為. 則

二面角的大小為.

 

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

解:(Ⅰ)由得:,所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為

  .  ------------------------4分

(Ⅱ)由得:

從而

故數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列,又因中的最小項(xiàng),要使恒成立,

則只需 成立即可,由此解得,由于,

故適合條件的的最大值為1.  ------------------------12分

 

21.(本小題滿(mǎn)分12分)

解:(Ⅰ), 是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心即為.                         -----------------2分

,其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為

所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心與導(dǎo)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同. -----------------4分

(Ⅱ)令.

當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表:

0

0

極大值

極小值

                                                            

時(shí),有極大值2,

,曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.

直線的方程為                                   -----------------6分

曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.

直線的方程為

又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.

直線的方程為.

聯(lián)立直線的方程與直線的方程, ,解得

.-----------------10分 

聯(lián)立直線的方程與直線的方程, ,解得,

.

,

所以. -----------------12分

圖象如右:

 

 

 

 

 

 

 

22.(本小題滿(mǎn)分12分)

解:(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)垂直直線于點(diǎn)

依題意得:,

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線, 

即曲線的方程是                      ---------------------4分

(Ⅱ)解法一:設(shè)、、,則

知,, ∴,

又∵切線AQ的方程為:,注意到

切線AQ的方程可化為:,

在切線AQ上, ∴

所以點(diǎn)在直線上;

同理,由切線BQ的方程可得:.

所以點(diǎn)在直線上;

可知,直線AB的方程為:

即直線AB的方程為:,

∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).     ------------------------12分

 

(Ⅱ)解法二:設(shè),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則

知,,得切線方程:.

即為:,又∵在切線上,

所以可得:,解之得:.

所以切點(diǎn),

.

故直線AB的方程為:

化簡(jiǎn)得:

即直線AB的方程為:

∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).

 


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