已知．

（１）求的單調(diào)區(qū)間；

（２）證明：當時，恒成立；

（３）任取兩個不相等的正數(shù)，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當k0時，>0，所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為（0，+），無減區(qū)間；

當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區(qū)間（k,+）減區(qū)間為（0，k）（3’）

(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),的變化情況如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1==∴l(xiāng)nx0=-1      ∴l(xiāng)nx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x

（12分）已知函數(shù)，曲線過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。

①求a，b的值；

②求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。

③若函數(shù)在上是增函數(shù)，求m的取值范圍.

（12分）已知函數(shù)，曲線過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
③若函數(shù)在上是增函數(shù)，求m的取值范圍.

 設f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間．對任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f（x），下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.

   （1）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區(qū)間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x*，1）為含峰區(qū)間； 

   （2）對給定的r（0＜r＜0.5＝，證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂－x₁≥2r，使得由

       （I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r； 

   （3）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，由（I）可確定含峰區(qū)間為（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x₂）的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）