題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù).
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)0<a<2時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【解析】第一問定義域為真數(shù)大于零,得到..
令,則,所以或,得到結(jié)論。
第二問中, ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.
對參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(I)定義域為. ………………………1分
.
令,則,所以或. ……………………3分
因為定義域為,所以.
令,則,所以.
因為定義域為,所以. ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,
單調(diào)遞減區(qū)間為. ………………………7分
(II) ().
.
因為0<a<2,所以,.令 可得.…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
①當(dāng),即時,
在區(qū)間上,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
所以. ………………………10分
②當(dāng),即時,在區(qū)間上為減函數(shù).
所以.
綜上所述,當(dāng)時,;
當(dāng)時,
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在上的最大值為,求的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為(0,2),.
當(dāng)a=1時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
第二問中,利用當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域為(0,2),.
(1)當(dāng)時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
第二問中,因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時,有最大值,此時,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時,有最大值,此時,
所以,的最大值為
已知函數(shù),(),
(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1)上的最大值。
【解析】(1),
∵曲線與曲線在它們的交點(1,c)處具有公共切線
∴,
∴
(2)令,當(dāng)時,
令,得
時,的情況如下:
x |
|||||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上的最大值為,
當(dāng)且,即時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上的最大值為
當(dāng),即a>6時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞贈,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增。又因為
所以在區(qū)間上的最大值為。
如圖,,,…,,…是曲線上的點,,,…,,…是軸正半軸上的點,且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點).
(1)寫出、和之間的等量關(guān)系,以及、和之間的等量關(guān)系;
(2)求證:();
(3)設(shè),對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用有,得到
第二問證明:①當(dāng)時,可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即有則當(dāng)時,由歸納假設(shè)及,
得
第三問
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,最大為,即
解:(1)依題意,有,,………………4分
(2)證明:①當(dāng)時,可求得,命題成立; ……………2分
②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即有,……………………1分
則當(dāng)時,由歸納假設(shè)及,
得.
即
解得(不合題意,舍去)
即當(dāng)時,命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,最大為,即
.……………2分
由題意,有. 所以,
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