已知雙曲線

x2

2

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞1）的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，求h的值．

已知點P₁（x₀，y₀）為雙曲線

x2

8b2

-

y2

b2

=1（b為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點，過P₁作右準線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長交y軸于P₂．
（1）求線段P₁P₂的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=2，且B₁、B₂分別是雙曲線虛軸的上、下端點．
（Ⅰ）若雙曲線過點Q（2，

3

），求雙曲線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若A、B是雙曲線上不同的兩點，且

B2A

=λ

B2B

，

B2A

⊥

B1B

，求直線AB的方程．

已知點P（3，0），點A、B分別在x軸負半軸和y軸上，且

BP

•

BA

=0，點C滿足

AC

=2

BA

，當點B在y軸上移動時，記點C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點Q（1，0）且斜率為k的直線l交曲線E于不同的兩點M、N，若D（-1，0），且

DM

•

DN

＞0，求k的取值范圍．