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（本小題滿(mǎn)分14分）a 為常數(shù)，求函數(shù)的最大值。

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設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為g(x)。若在區(qū)間D上，g(x)＜0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”。已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，，
（Ⅰ）若y=f(x)在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)滿(mǎn)足|m|≤2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值。

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設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線(xiàn)y=f（x）在（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+y=1。
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）證明：f（x）＜。

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一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出來(lái)填涂在答題卡上。

1．A

2．D    對(duì)“若則”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設(shè)命題的結(jié)論不成立為非，選D。

3．B    因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)時(shí)，分母最小，從而最大為2，選B。

4．C

5．B    設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為（其中），則

于是它的首項(xiàng)是2，選B

6．D    因?yàn)?sub>的反函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，于是，解得，選D

7．D    在直角坐標(biāo)系中較準(zhǔn)確地作出點(diǎn)A、B、C，并結(jié)合代值驗(yàn)證，可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足選擇支D的解析式，選D。

8．C    因?yàn)?sub>是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，故函數(shù)的周期為4，所以，選C

9．A    函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），當(dāng)≥1時(shí)，≥0，有；當(dāng)時(shí)，，有，選A。

10．B    根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得，有

，選B.

11．A

12．C    設(shè)，則B,有

，∴。由于A、B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則＝1，∴，而點(diǎn)A又在函數(shù)的圖像上，∴，得，有，于是，選C。

13．

14．原式＝

15．由圖知車(chē)速小于90km/h的汽車(chē)總數(shù)的頻率之和為（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，∴車(chē)速不小于90km/h的汽車(chē)總數(shù)的頻率之和為1-0.7＝0.3。因此在這一時(shí)段內(nèi)通過(guò)該站的車(chē)速不小于90km/h的汽車(chē)有1000×0.3＝300輛。

16．（1）當(dāng)時(shí)，

（2）當(dāng)時(shí)，

（3）當(dāng)時(shí)，

所以，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值

三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。

17．（本題滿(mǎn)分12分）

解法一 原不等式等價(jià)于

                     或

                                                   ………………12分

解法二 原不等式等價(jià)于

或

或

說(shuō)明  本題是教材第一冊(cè)上頁(yè)習(xí)題1.5第5題：解不等式的改變，這是關(guān)于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次不等式組成的不等式組來(lái)解時(shí)，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標(biāo)根，也能快速解決。

18．∵，∴是奇函數(shù)。

∵，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，

∴在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù).                                   …………8分

.

故編號(hào)為①③的結(jié)論正確,編號(hào)為②的結(jié)論不正確                        ……12分

事實(shí)上，還有∵，∴。

本題是教材85頁(yè)4題、99頁(yè)例3、101頁(yè)6、7題102頁(yè)1題的綜合與改編。

19．（本題滿(mǎn)分12分）

設(shè)表示每臺(tái)的利潤(rùn)，y表示周銷(xiāo)售量，則經(jīng)過(guò)了點(diǎn)（20，0），（0，35），

∴解得                     ………………4分

即或，其中

因此，商店一周中所獲利潤(rùn)總額為：

每臺(tái)利潤(rùn)×銷(xiāo)售量＝

                   ＝                ………8分

由于y是正整數(shù)，所以當(dāng)周銷(xiāo)售量為y＝17或18時(shí)，利潤(rùn)總額最大，為元，此時(shí)元或10.3元。               ………………12分

20．甲種水稻的平均畝產(chǎn)量為_甲＝

乙種水稻的平均畝產(chǎn)量為_乙＝

表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等。                                ……………6分

其方差為＝

＝

即有 >，這說(shuō)明乙種水稻其畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定……12分

21．（本題滿(mǎn)分12分）

（1）延長(zhǎng)FE與AB交于點(diǎn)P，則

∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴，                  …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）

即。                     ………………6分

∵  ∴（*）式成立的充要條件是，

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為，        ……8分

（2）因?yàn)?sub>，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，                                          ………10分

       所以正方形的面積當(dāng)時(shí)取得最大值………12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得與的函數(shù)關(guān)系式為（）

22．。                      ………………2分

若，則，知單調(diào)遞減，而，∴

若，令，則。

∵，則只需考慮的情況：

（1）當(dāng)，即時(shí)，

若時(shí)，，則

若時(shí)，，則

∴_極大值＝。                      …9分

（2）當(dāng)即時(shí)，∵，∴，

故，知是增函數(shù)，∴    ……12分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為0；當(dāng)，時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為                  ……14分