如圖所示，兩根不計電阻的金屬導線MN與PQ 放在水平面內(nèi)，MN是直導線，PQ的PQ₁段是直導線，Q₁Q₂段是弧形導線，Q₂Q₃段是直導線，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行．M、P間接入一個阻值R=0.25Ω的電阻．質(zhì)量m=1.0kg、不計電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時，給金屬棒一向右的初速度v₁=4 m/s，同時給一方向水平向右F₁=3N的外力，使金屬棒向右做勻減速直線運動；當金屬棒運動到位置（Ⅱ）時，外力方向不變，改變大小，使金屬棒向右做勻速直線運動2s到達位置（Ⅲ）．已知金屬棒在位置（I）時，與MN、Q₁Q₂相接觸于a、b兩點，a、b的間距L₁=1 m；金屬棒在位置（Ⅱ）時，棒與MN、Q₁Q₂相接觸于c、d兩點；位置（I）到位置（Ⅱ）的距離為7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運動時的加速度大小；
（2）c、d兩點間的距離L₂；
（3）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q．

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

   1～5  C B D C D     6～10  A C A B B

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11.  ；      12 .  ；       13.  31；  

14.  ；       15.  ；             16. - ，0  .

三、解答題（本大題共6小題，共76分）

17.（本題滿分13分）

解：（Ⅰ）當a＝2時，A＝ ，          …………………………2分

B＝                             …………………………4分

∴ A B＝                       …………………………6分

（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－ )2＋ >0，即a2＋1>a

∴B={x|a<x<a2+1}                            ……………………7分

①當3a+1=2，即a= 時A=Φ，不存在a使B A      ……………………8分

②當3a+1>2，即a> 時A={x|2<x<3a+1}

由B A得： 2≤a≤3             …………………10分

③當3a+1<2，即a< 時A={x|3a+1<x<2}

由B A得 －1≤a≤－                   …………………12分

綜上，a的范圍為：[－1,－ ]∪[2,3]                        …………………13分

18．（本題滿分13分）

解：（Ⅰ）由 ………4分

∵

∴ 的值域為[－1，2]           ……………………7分

（Ⅱ）∵

∴

∴                    ………………10分

∴ ………………13分

19. （本題滿分13分）

解：（Ⅰ）  ， ，              ……………………2分

設(shè) 與 在公共點 處的切線相同

由題意 ，  　

即                               ……………………4分

由 得： ，或 （舍去） 　

即有  　                ……………………6分

（Ⅱ）設(shè) ，……………………7分

則   　           ……………………9分

x 時 <0，x  >0

∴ 在 為減函數(shù)，在 為增函數(shù)，             ……………………11分

于是函數(shù) 在 上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0　    ……………………12分

故當 時，有 ，

所以，當 時，  　                           ……………………13分

20. （本題滿分13分）

解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率

                          ………………5分

（Ⅱ）                                   …………………6分            

                                                      …………10分

ξ的分布列為：

ξ                     10                  8               6    4

P                                                               

                                           …………13分

21．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵ ， ∴      …………………………1分

由y= 解得：               …………………………2分

∴                     ………………………3分

（Ⅱ）由題意得：          …………………………4分

∴                    

∴{ }是以 =1為首項，以4為公差的等差數(shù)列. …………………………6分

∴ ，∴ .          ………………………7分

（Ⅲ）∴ ………8分

則

∴

∴ ，∴ {bn}是一單調(diào)遞減數(shù)列.      ………………………10分

∴ ，要使 ，則  ，∴

又kN*  ，∴k8 ，∴kmin=8

即存在最小的正整數(shù)k=8，使得                  ……………………12分

22.（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）由余弦定理得：    ……1分

即16＝

＝ ＝

所以 ，

即   ……………………………………………4分

（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結(jié)論）

所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為 的雙曲線

所以，軌跡G的方程為         …………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)存在定點C(m,0),使 為常數(shù).

①當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為

    …………………………………………7分

由題意知，

設(shè) ，則 ，   …………………8分

于是

∴

＝              ………………9分

＝

要是使得  為常數(shù)，當且僅當 ，此時  ………………11分

②當直線l與x軸垂直時， ,當 時 .

 故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得  為常數(shù). …………………………12分