當(dāng)且僅當(dāng) , n=20(層)時(shí).總費(fèi)用y最少.故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí), 最少總費(fèi)用為1000A元.實(shí)際應(yīng)用題的數(shù)列模型是近兩年高考命題的熱門話題, 涉及到等差數(shù)列, 等比數(shù)列, 遞歸數(shù)列等知識(shí)點(diǎn), 化歸轉(zhuǎn)化是解答的通性同法. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列說法：
①用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得243，135 的最大公約數(shù)是9；
②命題p：?x∈R，x2-x+
1
4
＜0，則?p是?x0∈R，x02-x0+
1
4
≥0；
③已知條件p：x＞1，y＞1，條件q：x+y＞2，xy＞1，則條件p是條件q成立的充分不必要條件；
④若
a
=(1，0，1)，
b
=(-1，1，0)，則＜
a
，
b
＞=
π
2
；
⑤已知f(n)=
1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n2
，則f（n）中共有n2-n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=
1
2
+
1
3
+
1
4
；
⑥直線l：y=kx+1與雙曲線C：x2-y2=1的左支有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是-1＜k＜1或k=
2
．
其中正確的命題的序號(hào)為
 
．

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已知一非零向量數(shù)列{an}滿足a1=（1，1）an=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N*）．給出以下結(jié)論：
①數(shù)列{|an|}是等差數(shù)列，②|a1|•|a5|=
1
2
；③設(shè)cn=2log2|an|，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，Tn取得最大值；④記向量an與an-1的夾角為θn（n≥2），均有θn=
π
4
．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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23、課本小結(jié)與復(fù)習(xí)的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國）不等式當(dāng)n=2時(shí)的特例，即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)成立．
請(qǐng)分別用中文語言和數(shù)學(xué)語言簡潔地?cái)⑹隹挛鞑坏仁�，并用一種方法加以證明．

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（2012•資陽一模）已知一非零向量數(shù)列{
a
n}滿足
a
1=（1，1）
a
n=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N*）．給出以下結(jié)論：
①數(shù)列{|
a
n|}是等差數(shù)列；
②|
a
1|•|
a
5|=
1
2
；
③設(shè)cn=2log2|
a
n|，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，Tn取得最大值；
④記向量
a
n與
a
n-1的夾角為θn（n≥2），均有θn=
π
4
．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
②④
②④
．

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在(a2-2)n的展開式中(　　)

A.沒有常數(shù)項(xiàng)

B.當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),展開式中有常數(shù)項(xiàng)

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí),展開式中有常數(shù)項(xiàng)

D.當(dāng)n=5k(k∈N*)時(shí),展開式中有常數(shù)項(xiàng)

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程，我國1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購買一套商品房，計(jì)劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                  

　　對(duì)于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對(duì)于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器，就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

    
     
    
      
      
    天數(shù)t
    病毒細(xì)胞總數(shù)N
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    …
    1
    2
    4
    8
    16
    32
    64
    …
     
     
     
     
     
     
     
     
    講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由
    兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,
       即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
    （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,
    再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,
    由題意≤108，兩邊取對(duì)數(shù)得
    ，
         故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．
        本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.
         例12 有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).
    （1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；  
    （2）求證：當(dāng)g(0)< 時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；  
    （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？
     講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
    (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
    g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
    ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
    ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
    故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.                 
    (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
    ∴=e，∴t=
ln20，
    故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.
    高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.
     
     
    		
	
	
    
		
    


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