得 x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+1.

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實(shí)數(shù)a和b的值;

(2)若a<0,且對任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.

【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

第二問中,利用當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1

即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

(2)當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,

令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

∵g′(x)=-2x+1=(x>0),

∴-2x2+x+a≤0在x>0時(shí)恒成立,

∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,

∴a的取值范圍是

 

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已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-
1
2
x2+
1
3
x3
,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象在交點(diǎn)(0,0)處有公共切線
(1)求a、b;
(2)證明:f(x)≤g(x);
(3)對任意的x1、x2∈(-1,+∞),(x1<x2),當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),證明:
f(x)-f(x1)
x-x1
f(x)-f(x2)
x-x2

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已知函數(shù)f(x)在定義域[a,b]上是單調(diào)函數(shù),函數(shù)值域?yàn)椋?3,5],則以下說法正確的是(    )

A.若f(a)f(b)<0,則存在x1∈[a,b],使f(x1)=0

B.f(x)在區(qū)間[a,b]上有最大值f(b)=5

C.f(x)在區(qū)間[a,b]上有最小值f(a)=-3

D.f(x)在區(qū)間[a,b]上有最大值不是f(b),最小值也不是f(a)

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由已知得高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com),中國最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。,高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com),中國最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。,高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com),中國最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。,

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所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f(2009)= f(5)=1,故選C.

答案:C.

【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運(yùn)算.

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y=f(x)在R上連續(xù),在點(diǎn)x=x0處f′(x)=0,在點(diǎn)x=x1處f′(x)不存在,則下述命題中正確的是

A.x=x0及x=x1一定都是極值點(diǎn)                 

B.只有x=x0是極值點(diǎn)

C.x=x0與x=x1可能都不是極值點(diǎn)               

D.x=x0與x=x1中至少有一個(gè)是極值點(diǎn)

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