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（2012•朝陽(yáng)區(qū)一模）某次有1000人參加的數(shù)學(xué)摸底考試，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀．
（Ⅰ）下表是這次考試成績(jī)的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；

區(qū)間	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人數(shù)	50	a	350	300	b

（Ⅱ）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績(jī)進(jìn)行分析，求其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加座談會(huì)，記“其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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（2013•肇慶一模）某市電視臺(tái)為了宣傳舉辦問(wèn)答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市15～65歲的人群抽樣了x•46%=230人，回答問(wèn)題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示．

組號(hào)	分組	回答正確 的人數(shù)	回答正確的人數(shù) 占本組的概率
第1組	[15，25）	5	0.5
第2組	[25，35）	a	0.9
第3組	[35，45）	27	x
第4組	[45，55）	B	0.36
第5組	[55，65）	3	y

（Ⅰ）分別求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求：所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

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（2012•朝陽(yáng)區(qū)一模）某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）下表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；

區(qū)間	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人數(shù)	50	50	a	150	b

（Ⅱ）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．

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一．選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

12．?250；                     13．；              14．③④

三．解答題：

15．解： ；  ………5分

方程有非正實(shí)數(shù)根

綜上： ……………………12分16．解:(I)設(shè)袋中原有個(gè)白球,由題意知

可得或(舍去)

答：袋中原有3個(gè)白球. 。。。。。。。。4分

(II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5

所以的分布列為:

1

2

3

4

5

。。。。。。。。。9分

(III)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件,則

答：甲取到白球的概率為.。。。。。。。。13分

17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

（2）任取、∈（1，＋∞），且設(shè)＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；。。。。。。。。。8分

（3）當(dāng)直線(xiàn)＝（∈R）與的圖象無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜．。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，　∴

　　　又∵且平面，平面，，

　　　　∴平面；３分

（Ⅱ）解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴，由（Ⅰ）知平面，

∴平面，

∴，，

∴為二面角的平面角，

∵底面，∴與底面所成的角即為，

∴＝，∵為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，

∴為等腰三角形，且，∴；

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵底面,

　　　∴底面,為直線(xiàn)在底面上的射影，

　　　要，由三垂線(xiàn)定理的逆定理有要 ，

　設(shè)，則由得，

　又∴在直角三角形中，，

∴，

∵　∴，，

在直角三角形中，，

　，即時(shí)，．

（Ⅲ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)，則

則，，,

，時(shí)時(shí)，.

19  證明：（1）對(duì)任意x₁, x₂∈R, 當(dāng) a0,

有 =                         =……（3分）

∴當(dāng)時(shí)，，即

  當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)是凸函數(shù).   ……（4分）

 （2） 當(dāng)x=0時(shí), 對(duì)于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當(dāng)x∈(0, 1]時(shí), 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當(dāng)=1時(shí), 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.

由此可知，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值恒為負(fù)數(shù)，由（1）可知函數(shù)f(x)是凸函數(shù)………10分

（3）令則，∵，∴，……………..(11)分

令，則，故；

若，則

；，……………..(12)分

若，則 ∴；∴時(shí)，.

綜上所述，對(duì)任意的，都有；……………..(13)分

所以，不是R上的凸函數(shù). ……………..(14)分

對(duì)任意，有，

所以，不是上的凸函數(shù). ……………..(14)分

20. 解：（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則

……….4分

（2）為偶數(shù)時(shí)，

為奇數(shù)時(shí)，

………9分

（3）方法1、因?yàn)?sub>所以

當(dāng)，時(shí)，，時(shí)

又由，兩式相減得

 所以若，則有………..14分

方法2、由，兩式相減得

………..11分

所以要證明，只要證明

或①由：

所以…………………14分

或②由：

…………………14分

數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)

當(dāng)

②當(dāng)

當(dāng)

綜上①②知若，則有.

所以，若，則有.。。。。。。。。。14分