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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)， M為棱AA1­上的點(diǎn)，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長(zhǎng)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點(diǎn)C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長(zhǎng)14米,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費(fèi)用為a元；②修1米舊墻的費(fèi)用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長(zhǎng)；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最省?(1)、(2)兩種方案哪個(gè)更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號(hào)成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時(shí)相應(yīng)的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

D

D

A

B

C

C

C

A

D

A

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

三、解答題(本大題共6小題共74分)

17.解(1)設(shè)，由，有x+y=-1                         ①……………1分

  與的夾角為，有，

  ∴，則x2+y2=1                                                             ②……………2分

  由①②解得，∴(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

  (2)由2B=A+C知B=                      ……………5分

  由垂直知(0，-1)，則

                                  ……………6分

  ∴

  =1+                   ……………8分

  ∵0<A<

  ∴-1≤cos(2A+)<

  即                                                               ………………10分

  故                                                           ………………12分

18.解：(1)過點(diǎn)A作AF⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則AF⊥平面BCC1B1，∠AEF為所求直線AE與平面BCC1B1所成的角.                 …………………2分

  在Rt△AEF中，AF=∠AEF=

  故直線AE與平面BCC1B1所成的角為arctan             …………………6分

  (2)以O為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

    A (0，-)，E (0，)，D1 (-1，0，2)

                                          …………………8分

   設(shè)平面AED1的一個(gè)法向量則

   取z=2，得=(3，-1，2)

   ∴點(diǎn)O到平面AED1的距離為d=              …………………12分

19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1，

   ∴a1?a4,a7…,a3n-2是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

   ∴Pn=                                                …………………4分

   由

   ∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列

   ∴Qn=                                 …………………8分

   (2)對(duì)于Pn≤100Qn

   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不等式顯然不成立；

   當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，解得n=1，3，…，13.

所求之和為                                         ………………12分

20.解∵P(x=6)=                                                   ………………3分

  P(x=7)=                                             ………………6分

  P(x=8)=                                                      ………………9分

  ∴P(x≥6)=                                           ………………12分

  答：線路信息暢通的概率為

21.解：因?yàn)?i>f′(x)=3x2+6ax+b,由題設(shè)得

 

  解得：                                                       ………………4分

  ∴當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在極值；

  當(dāng)時(shí)，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合條件。    ………………6分

  且f(1)=20, f(0)=4，于是由題設(shè)得：3x2+12x+9≤20m-8在區(qū)間[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在區(qū)間 [-4，3]上的最大值為72.

 ∴,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

22.(1)設(shè)M (x,y),則由且O是原點(diǎn)得

  A (2，0)，B  (2，1)，C (0，1)，從而(x，y),

 

  由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]

  即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0為所求軌跡方程                                   ………………4分

  ①當(dāng)k=1時(shí)，y=0動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線

②當(dāng)k≠1時(shí)，(x-1)2+

k=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是一個(gè)圓

k>1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是一條雙曲線；

0<k<1或k<0時(shí)軌跡是一個(gè)橢圓 .                                     ………………6分

(2)當(dāng)k=時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2

從而

又由(x-1)2+2y2=1   ∴0≤x≤2

∴當(dāng)x=時(shí)，的最大值為.

當(dāng)x=0時(shí)，的最大值為16.

∴的最大值為4，最小值為                     …………………10分

(3)由由得

①當(dāng)0<k<1時(shí)，a2=1,b2=1-k,c2=k

∴e2=k ∴

②當(dāng)k<0時(shí)，e2=

∴k∈                                                      …………………14分

 


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