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（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，側面ABB₁A₁是邊長為2的菱形，且，M是AB的中點，

（1）求證：平面ABC；
（2）求點M到平面AA₁C₁C的距離.

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說明：

1．本解答僅給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容對照評分標準制訂相應的評分細則。

2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

4．給分或扣分均以1分為單位，選擇題和填空題不給中間分。

一．選擇題：本題考查基本知識和基本運算

DDDBB;CDACA;CA

二．填空題：本題考查基本知識和基本運算

13.2；           14.               15.  2；           16. ①②③④

三．解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（本小題滿分12分）

解：（I）解：

…………………………………………6分

        由 ，得   

        的單調遞增區(qū)間為

   （II）的圖象關于直線對稱，

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）當M是A₁C₁中點時，BC₁//平面MB₁A．…2分

∵M為A₁C₁中點，延長AM、CC₁，使AM與CC₁    

延長線交于N，則NC₁=C₁C=a．

連結NB₁并延長與CB延長線交于G，

則BG=CB，NB₁=B₁G．………………………4分

在△CGN中，BC₁為中位線，BC₁//GN．

又GN平面MAB₁，

∴BC₁//平面MAB₁ ．………………………6分

（Ⅱ）∵BC₁//平面MB₁A，∴M是A₁C₁中點．

∵△AGC中， BC=BA=BG ，∴∠GAC=90°．

即AC⊥AG，  又AG⊥AA₁ ，   ，

∴AG⊥平面A₁ACC₁．

∴，………………………………  8分

∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角．

∴所求銳二面角大小為．    …………………………………………10分

（Ⅲ）設動點M到平面A₁ABB₁的距離為，

則．當點M與點C₁重合時，三棱錐B―AB₁M的體積最大，最大值為 …12分

19．（本小題滿分12分）

解：設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為A，B，C，D，E。搖獎的概率大小與扇形區(qū)域 A，B，C，D，E所對應的圓心角大小成正比。

，     2分

（1）搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；     4分

（2）購物滿40元即可獲得兩次搖獎機會，所得的獎金數為可以為2、3、4、5、6、7、8、9、10。從而有

  7分

所以的分布列為：

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8分

  10分

（3）由（2）知消費者剛好消費40元兩次搖獎機會搖獎所得的平均獎數為4.63元；若選擇讓利獲得的優(yōu)惠為，顯然4.63元 >4元。故選擇搖獎比較劃算。12分

（文）解：設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為A，B，C，D，E。搖獎的概率大小與扇形區(qū)域 A，B，C，D，E所對應的圓心角大小成正比。，   3分

（1）搖獎一次，至多獲得三等獎的事件記為F，則； 即搖獎一次，至多獲得三等獎的概率為；

5分

（2）搖獎兩次，均獲得一等獎的概率  8分

（3）購物滿40元即可獲得兩次搖獎機會，由題意知，獎金數的可能值為8、9、10。某消費者購物滿40元，搖獎后獎金數不低于8元的事件記為G，則有

答：某消費者購物滿40元，搖獎后獎金數不低于8元的概率為。12分

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設、、，則

，

由此及得

，即；

（Ⅱ）當時，曲線的方程為。

依題意，直線和均不可能與坐標軸平行，故不妨設直線（），直線，從而有

。

同理，有。

若是等腰三角形，則，由此可得

，即或。

    下面討論方程的根的情形（）：

    ①若，則，方程沒有實根；

②若，則，方程有兩個相等的實根；

③若，則，方程有兩個相異的正實根，且均不等于（因為

）。

    綜上所述，能是等腰三角形：當時，這樣的三角形有且僅有一個；而當時，這樣的三角形有且僅有三個。

21.解：（I）………………2分

        當或時，；當時，

   在，（1，內單調遞增，在內單調遞減…………4分

     故的極小值為  ……………………………………5分

（II）①若則  的圖象與軸只有一個交點。……6分

②若則，當時，，當時，

的極大值為

的極小值為  的圖象與軸有三個公共點。

③若，則。

 當時，，當時，

的圖象與軸只有一個交點

④若，則 的圖象與軸只有一個交點

⑤當，由（I）知的極大值為

綜上所述，若的圖象與軸只有一個公共點；

若，的圖象與軸有三個公共點。

22．（本小題滿分14分）

解:(Ⅰ)∵第n個集合有n個奇數，∴在前n個集合中共有奇數的個數為

．…………………………………… 2分

則第n個集合中最大的奇數=．………………4分

（Ⅱ）（i）由(Ⅰ)得 ，

從而得．……………………………………6分

（ii）由（i）得 ， ∴ ．…7分

（１）當時，，顯然2≤．……………………………………8分

（２）當≥2 時， ………9分

> ，……………………………………………10分

≤．………………………………………………12分

∴

<  ．即．

綜上所述，2≤ ． ……………………………………………………14分