如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E為棱DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）判斷BD₁和過(guò)A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（II）求△ACE的面積．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為棱BC，DD₁上的點(diǎn)，給出下列命題：
①在平面ABF內(nèi)總存在與直線B₁E平行的直線；
②若B₁E⊥平面ABF，則CE與DF的長(zhǎng)度之和為2；
③存在點(diǎn)F使二面角B₁-AC-F的大小為45°；
④記A₁A與平面ABF所成的角為α，BC與平面ABF所成的角為β，則α+β的大小與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)．
其中真命題的序號(hào)是． （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求AD₁與DB所成角的大��；
（2）求證DB⊥平面AEA₁．