如圖2.已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

選考題部分
（1）（選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)）（本小題滿分7分）
在極坐標(biāo)系中，過(guò)曲線L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一點(diǎn)A(2
5
，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=
π
4
(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數(shù)列，求a的值．
（2）（選修4-5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）
已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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精英家教網(wǎng)A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2（r1＞r2 ）．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C （ O1不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
11
21
，向量β=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓
x=5cosφ
y=3sinφ
（φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線
x=4-2t
y=3-t
（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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（本小題滿分10分）等體積的球和正方體，試比較它們表面積的大小關(guān)系．

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（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
設(shè)矩陣 M=
a0
0b
（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：
x2
4
+y2=1，求a，b的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直接坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cos∂
y=sin∂
(∂為參數(shù))．
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，
π
2
），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設(shè)不等式|2x-1|＜1的解集為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．

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1－10：DCDAABCBCDC

11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .

 

 

1．函數(shù)的定義域是，解得x≥1，選D.

2．向量若時(shí)，∥，∴ ；時(shí)，，，選C.

3．的展開(kāi)式中的系數(shù)=x3， 則實(shí)數(shù)的值是2，選D

4．過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.

5．若“”，則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù)；而若在區(qū)間上為增函數(shù)，則0≤a≤1，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，選A.

6．在數(shù)字1，2，3與符號(hào)“＋”，“－”五個(gè)元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個(gè)符號(hào)插入，有種方法，共有12種方法，選B.

7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.

8．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.

9．過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn),  聯(lián)立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點(diǎn)，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.

10．如圖，OM∥AB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，

由圖知，x<0，當(dāng)x=－時(shí)，即=－，P點(diǎn)在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.

二．填空題：

11.； 12. 85；  13. 5 ；  14. 6 ；  15. －3 .

11．?dāng)?shù)列滿足：，2，3…，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，∴ .

12．某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是分.

13．已知，如圖畫出可行域，得交點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.

 

14．過(guò)三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。

15．是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。

 

 

16. 解　由已知條件得.

即.

解得.

由0＜θ＜π知，從而.

17. 解　（Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.

（Ⅱ）解法一　某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.

解法二　某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.

所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.

(Ⅲ)由題設(shè)（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.

18. 解法一�。á瘢┻B結(jié)AC、BD，設(shè).

由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，－，0），，             

，設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由

得.

取x=1，得.

所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.

解法二　（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)，連結(jié)PM，QM.

因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镺A＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.

從而∠BPC（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角.

因?yàn)椋?/p>

所以.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)連結(jié)OM，則.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長(zhǎng)是點(diǎn)P到平面QAD的距離.

在直角△PMO中，.

即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.

19. 解�。á瘢┯深}設(shè)知.

令.

當(dāng)（i）a>0時(shí)，

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

（i i）當(dāng)a＜0時(shí)，

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

 

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).

（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.

因?yàn)榫�段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].

20. 解�。á瘢┯梢阎�，

　　.

    （Ⅱ）因?yàn)椋?/p>

　　　　　所以.

          又因?yàn)椋?/p>

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          綜上，.

21. 解�。á瘢┊�(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為

    x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.

    因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即.

    此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

   （Ⅱ）解法一　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.

由消去y得.           ……①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.

因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦，

所以，且

.

從而.

所以，即.

解得.

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

解法二　當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程

為.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.

由消去y得.           　　……③

 

由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.

從而＝. 解得.

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

 解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,

因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②

且直線AB的方程是,

所以.                                ……③

又因?yàn)�，所�?         ……④

將①、②、③代入④得，即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

 

 

 

 

 

 

 


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