題目列表(包括答案和解析)
第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
第2行 | q | ||||
第3行 | q2 | ||||
… | … | ||||
第n行 | qn-1 |
1 | 10 |
1 | 10 |
.假定平面內(nèi)的一條直線將該平面內(nèi)的一個區(qū)域分成面積相等的兩個區(qū)域,則稱這條直線平分這個區(qū)域.如圖,是平面內(nèi)的任意一個封閉區(qū)域.現(xiàn)給出如下結(jié)論:
① 過平面內(nèi)的任意一點至少存在一條直線平分區(qū)域;
②過平面內(nèi)的任意一點至多存在一條直線平分區(qū)域;
③ 過區(qū)域內(nèi)的任意一點至少存在兩條直線平分區(qū)域;
④ 過區(qū)域內(nèi)的某一點可能存在無數(shù)條直線平分區(qū)域.
其中結(jié)論正確的是
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
(1)―(12)DACBD BBAAD CC
(13) 2 (14) 32 (15) (16)34
(1)定義集合運算:A⊙B={z?z= xy(x+y),x∈A,y∈B},設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A⊙B的所有元素之和為( D )
(A)0 (B)6 (C)12 (D)18
解:當(dāng)x=0時,z=0,當(dāng)x=1,y=2時,z=6,當(dāng)x=1,y=3時,z=12,故所有元素之和為18,選D
(2)函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)的圖象大致是( A )
(A) (B) (C) (D)
解:函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)為,它的圖象是函數(shù)向右移動1個單位得到,選A
(3)設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為( C )
(A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2)
解:令>2(x<2),解得1<x<2。令>2(x³2)解得xÎ(,+∞)
選C
(4)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1,則c=( B )
(B) 1 (B)2 (C)―1 (D)
解:由正弦定理可得sinB=,又a>b,所以A>B,故B=30°,所以C=90°,故c=2,選B
(5)設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形,則向量d為( D )
(A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6)
解:設(shè)d=(x,y),因為4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),依題意,有4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,選D
(6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則,f(6)的值為( B )
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函數(shù)
f(x)的周期為4,所以f(6)=f(2)=-f(0)=0,選C
(7)在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為,焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為( B )
(A) (B) (C) (D)
解:不妨設(shè)橢圓方程為(a>b>0),則有,據(jù)此求出e=,選B
(8)設(shè)p:x-x-20>0,q:<0,則p是q的( A )
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
解:p:x-x-20>0Ûx>5或x<-4,q:<0Ûx<-2或-1<x<1或x>2,借助圖形知選A
(9)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo),則確定的不同點的個數(shù)為( A )
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
解:不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為=36,但集合B、C中有相同元素1,由5,1,1三個數(shù)確定的不同點的個數(shù)只有三個,故所求的個數(shù)為36-3=33個,選A
(10)已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為-,其中=-1,則展開式中常數(shù)項是( A )
(A)-45i (B) 45i (C) -45 (D)45
解:第三項的系數(shù)為-,第五項的系數(shù)為,由第三項與第五項的系數(shù)之比為-可得n=10,
則=,令40-5r=0,解得r=8,故所求的常數(shù)項為=45,選A
(11)某公司招收男職員x名,女職員y名,x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是(C )
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解:畫出可行域:
易得A(5.5,4.5)且當(dāng)直線z=10x+10y過A點時,
z取得最大值,此時z=90,選C
(12)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合于點P,則P-DCE三棱錐的外接球的體積為( C )
(A) (B) (C) (D)
(12題圖)
解:易證所得三棱錐為正四面體,它的棱長為1,故外接球半徑為,外接球的體積為,選C
絕密★啟用前
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)
理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)
注意事項:
1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。
得分
評卷人
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.答案須填在題中橫線上.
(13)若 2 .
解:
(14)已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則的最小值是 32 .
解:顯然³0,又=4()³8,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以所求的值為32。
(15)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,D是A1C1的 中點,則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為 .
(15題圖)
解:易證B1^平面AC1,過A點作AG^CD,則
AG^平面B1DC,于是ÐADG即ÐADC為直線AD 與平面B1DC所成角,由平面幾何知識可求得它的正弦值為。
(16)下列四個命題中,真命題的序號有 (寫出所有真命題的序號).
①將函數(shù)y=的圖象按向量y=(-1,0)平移,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=
②圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=相交,所得弦長為2
③若sin(+)=,sin(-)=,則tancot=5
④如圖,已知正方體ABCD- A1B1C1D1,P為底面ABCD內(nèi)一動點,P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等,則P點的軌跡是拋物線的一部分.
解:①錯誤,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式應(yīng)為y=|x-2|
②錯誤,圓心坐標(biāo)為(-2,1),到直線y=的距離為
>半徑2,故圓與直線相離,
③正確,sin(+)==sincos+cossin
sin(-)=sincos-cossin=
兩式相加,得2 sincos=,
兩式相減,得2 cossin=,故將上兩式相除,即得tancot=5
④正確,點P到平面AD1的距離就是點P到直線AD的距離,
點P到直線CC1就是點P到點C的距離,由拋物線的定義
可知點P的軌跡是拋物線。
(16題圖)
三.解答題:本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),且的最大值為2,其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,并過點(1,2).
(I)求
(II)計算.
解:(I)
的最大值為2,.
又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2,,
.
過點,
又
.
(II)解法一:,
.
又的周期為4,,
解法二:
又的周期為4,,
18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù),其中,求的單調(diào)區(qū)間.
解:由已知得函數(shù)的定義域為,且
(1)當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
(2)當(dāng)時,由解得
、隨的變化情況如下表
―
0
+
極小值
從上表可知
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述:
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
19.(本小題滿分12分)
(1)求證直線是異面直線與的公垂線;
(2)求點A到平面VBC的距離;
(3)求二面角的大小。
解法1:
(Ⅰ)證明:∵平面∥平面,
又∵平面⊥平面,平面∩平面,
∴⊥平面,
,
又,.
為與的公垂線.
(Ⅱ)解法1:過A作于D,
∵△為正三角形,
∴D為的中點.
∵BC⊥平面
∴,
又,
∴AD⊥平面,
∴線段AD的長即為點A到平面的距離.
在正△中,.
∴點A到平面的距離為.
解法2:取AC中點O連結(jié),則⊥平面,且=.
由(Ⅰ)知,設(shè)A到平面的距離為x,
,
即,解得.
即A到平面的距離為.
則
所以,到平面的距離為.
(III)過點作于,連,由三重線定理知
是二面角的平面角。
在中,
。
。
所以,二面角的大小為arctan.
解法二:
取中點連,易知底面,過作直線交。
取為空間直角坐標(biāo)系的原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則。
(I),,
,
。
又
由已知。
,
而。
又顯然相交,
是的公垂線。
(II)設(shè)平面的一個法向量,
又
由
取 得
點到平面的距離,即在平面的法向量上的投影的絕對值。
,設(shè)所求距離為。
則
所以,A到平面VBC的距離為.
(III)設(shè)平面的一個法向量
由
取
二面角為銳角,
所以,二面角的大小為
20.(本小題滿分12分)
袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從袋中任取3個小球,按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分,每個小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個小球上的最大數(shù)字,求:
(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(3)計分介于20分到40分之間的概率。
解:(I)解法一:“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為,
則
解法二:“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”,“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為,則事件和事件是互斥事件,因為
所以.
(II)由題意有可能的取值為:2,3,4,5.
所以隨機變量的概率分布為
2
3
4
5
因此的數(shù)學(xué)期望為
(Ⅲ)“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為,則
21.(本小題滿分12分)
雙曲線C與橢圓有相同的焦點,直線為C的一條漸近線。
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點的直線,交雙曲線C于A、B兩點,交軸于Q點(Q點與C的頂點不重合),當(dāng),且時,求點的坐標(biāo)。
解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為
由橢圓
求得兩焦點為,
對于雙曲線,又為雙曲線的一條漸近線
解得 ,
雙曲線的方程為
(Ⅱ)解法一:
由題意知直線的斜率存在且不等于零。
設(shè)的方程:,
則
在雙曲線上,
同理有:
若則直線過頂點,不合題意.
是二次方程的兩根.
,
此時.
所求的坐標(biāo)為.
解法二:
由題意知直線的斜率存在且不等于零
設(shè)的方程,,則.
,
分的比為.
由定比分點坐標(biāo)公式得
下同解法一
解法三:
由題意知直線的斜率存在且不等于零
設(shè)的方程:,則.
,
.
,
,,
又,
即
將代入得
,否則與漸近線平行。
。
解法四:
由題意知直線l得斜率k存在且不等于零,設(shè)的方程:,
則
,
。
同理
.
即 。 (*)
消去y得.
當(dāng)時,則直線l與雙曲線得漸近線平行,不合題意,。
由韋達定理有:
代入(*)式得
所求Q點的坐標(biāo)為。
22.(本小題滿分14分)
已知,點在函數(shù)的圖象上,其中
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列的通項;
(3)記,求數(shù)列的前項,并證明
解:(Ⅰ)由已知,
,兩邊取對數(shù)得
,
即
是公比為2的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
(*)
=
由(*)式得
(Ⅲ)
又
又
.
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