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題目列表(包括答案和解析)

6.如果,且是第四象限的角,那么                  .

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2006年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試

上海  數(shù)學試卷(理工農醫(yī)類)

考生注意:

1.答卷前,考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚.

2.本試卷共有22道試題,滿分150分,考試時間120分鐘.請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.

一.填空題(本大題滿分48分)本大題共有12題,只要求直接填寫結果,每個空格填對得4

分,否則一律得零分.)

1.已知集合A=-1,3,2-1,集合B=3,.若BA,則實數(shù)=       ;

   解:由,經(jīng)檢驗,為所求;

2.已知圓-4-4+=0的圓心是點P,則點P到直線--1=0的距離是       ;

   解:由已知得圓心為:,由點到直線距離公式得:;

3.若函數(shù)=(>0,且≠1)的反函數(shù)的圖像過點(2,-1),則=         

   解:由互為反函數(shù)關系知,過點,代入得:;

4.計算:=                ;

   解:;

5.若復數(shù)同時滿足-=2,=(為虛數(shù)單位),則=              

   解:已知;

6.如果=,且是第四象限的角,那么=                  ;

   解:已知;

7.已知橢圓中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的

標準方程是                             ;

解:已知為所求;

8.在極坐標系中,O是極點,設點A(4,),B(5,-),則△OAB的面積是         ;

   解:如圖△OAB中,

 (平方單位);

                                              

9.兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成,每卷1本,共8本.將它們任意地排成

一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是              (結果用分數(shù)表示);

   解:分為二步完成: 1) 兩套中任取一套,再作全排列,有種方法;

                      2) 剩下的一套全排列,有種方法;

       所以,所求概率為:;

10.如果一條直線與一個平面垂直,則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體

中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是     ;

解:正方體中,一個面有四條棱與之垂直,六個面,共構成24個“正交線面對”;而正方

體的六個對角截面中,每個對角面又有兩條面對角線與之垂直,共構成12個“正交線

面對”,所以共有36個“正交線面對”;

11.若曲線=||+1與直線=+沒有公共點,則、分別應滿足的條件是                  .

    解:作出函數(shù)的圖象,

        如右圖所示:

        所以,;

 

 

 

12.三個同學對問題“關于的不等式+25+|-5|≥在[1,12]上恒成立,求實數(shù)

的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說:“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說:“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”.

丙說:“把不等式兩邊看成關于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路,你認為他們所討論的問題的正確結論,即的取值范圍是         ;

   解:由+25+|-5|≥,

       而,等號當且僅當時成立;

       且,等號當且僅當時成立;

  所以,,等號當且僅當時成立;故;

二.選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題,每題都給出代號為A、B、C、D的四個結

論,其中有且只有一個結論是正確的,必本大題滿分16分)須把正確結論的代號寫在題

后的圓括號內,選對得4分,不選、選錯或者選出的代號超過一個(不論是否都寫在圓括

號內),一律得零分.

13.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結論中錯誤的是         [答](      )

(A);       (B);

(C);  (D);

解:由向量定義易得, (C)選項錯誤;;

14.若空間中有四個點,則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”

的                                                        [答](      )

(A)充分非必要條件;(B)必要非充分條件;(C)充要條件;(D)非充分非必要條件;

解:  充分性成立:  “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況:

1)第四點在共線三點所在的直線上,可推出“這四個點在同一平面上”;

2)第四點不在共線三點所在的直線上,可推出“這四點在唯一的一個平面內”;

  必要性不成立:“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”;

  故選(A)

15.若關于的不等式≤+4的解集是M,則對任意實常數(shù),總有[答](      )

(A)2∈M,0∈M; (B)2M,0M; (C)2∈M,0M; (D)2M,0∈M;

解:選(A)

    方法1:代入判斷法,將分別代入不等式中,判斷關于的不等式解集是

否為;

        方法2:求出不等式的解集:

≤+4;

16.如圖,平面中兩條直線和相交于點O,對于平面上任意一點M,若、分別是M到

已知常數(shù)≥0,≥0,給出下列命題:

①  若==0,則“距離坐標”為(0,0)的

點有且僅有1個;

②  若=0,且+≠0,則“距離坐標”為

(,)的點有且僅有2個;

③  若≠0,則“距離坐標”為(,)的點有且僅有4個.

上述命題中,正確命題的個數(shù)是                            [答](      )

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

解:選(D)

    ① 正確,此點為點;  ② 正確,注意到為常數(shù),由中必有一個為零,另

一個非零,從而可知有且僅有2個點,這兩點在其中一條直線上,且到另一直線的距

離為(或);  ③ 正確,四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線

相距為的兩條平行線的交點;

三.解答題(本大題滿分86分)本大題共有6題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.(本題滿分12分)

求函數(shù)的值域和最小正周期.

[解]   

            

 ∴ 函數(shù)的值域是,最小正周期是;

18.(本題滿分12分)

如圖,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待

營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C處的乙

船,試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到)?

[解]  連接BC,由余弦定理得

BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.

 

 

19.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)

在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60,對角線AC與BD相交

于點O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為60.

(1)求四棱錐P-ABCD的體積;

(2)若E是PB的中點,求異面直線

DE與PA所成角的大。ńY果用

反三角函數(shù)值表示).

[解](1)在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得

∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.

∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.

 

(2)解法一:以O為坐標原點,射線OB、OC、

OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立

空間直角坐標系.

在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、

D、P的坐標分別是A(0,-,0),

B (1,0,0),  D (-1,0,0),  P (0,0, ).

E是PB的中點,則E(,0,)  于是=(,0, ),=(0, ,).

設的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos;

 解法二:取AB的中點F,連接EF、DF.

由E是PB的中點,得EF∥PA,

∴∠FED是異面直線DE與PA所成

角(或它的補角),

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,

于是, 在等腰Rt△POA中,

PA=,則EF=.

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=,

  cos∠FED==

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.

 

20.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)

在平面直角坐標系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點.

(1)求證:“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;

(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

[解](1)設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).

         當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,-).             ∴=3;

         當直線的鈄率存在時,設直線的方程為,其中,

         由得

         又 ∵ ,

    ∴,

    綜上所述,命題“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;

(2)逆命題是:設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.

   例如:取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,

直線AB的方程為:,而T(3,0)不在直線AB上;

說明:由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3,可得y1y2=-6,

或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過點(3,0);如果y1y2=2,可證得直線

AB過點(-1,0),而不過點(3,0).

 

21.(本題滿分16分,本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題

滿分6分)

已知有窮數(shù)列共有2項(整數(shù)≥2),首項=2.設該數(shù)列的前項和為,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常數(shù)>1.

(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)若=2,數(shù)列滿足=(=1,2,┅,2),

求數(shù)列的通項公式;

(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|

≤4,求的值.

(1)  [證明]   當n=1時,a2=2a,則=a;

                  2≤n≤2k-1時, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,

                 an+1-an=(a-1) an,  ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

    (2) 解:由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,

             bn=(n=1,2,…,2k).

   (3)設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當n≤k時, bn<;

      當n≥k+1時, bn>.

      原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)

          =(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

          ==.

         當≤4,得k2-8k+4≤0,    4-2≤k≤4+2,又k≥2,

∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.

 

22.(本題滿分18分,本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題

滿分9分)

已知函數(shù)=+有如下性質:如果常數(shù)>0,那么該函數(shù)在0,上是減函數(shù),在,+∞上是增函數(shù).

(1)如果函數(shù)=+(>0)的值域為6,+∞,求的值;

(2)研究函數(shù)=+(常數(shù)>0)在定義域內的單調性,并說明理由;

(3)對函數(shù)=+和=+(常數(shù)>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的

函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調性(只須寫出結論,不必證明),并求函數(shù)

=+(是正整數(shù))在區(qū)間[,2]上的最大值和最小值(可利

用你的研究結論).

[解](1)函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2,則2=6, ∴b=log29.

        (2)  設0<x1<x2,y2-y1=.

            當<x1<x2時, y2>y1, 函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù);

            當0<x1<x2<時y2<y1, 函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù).

         又y=是偶函數(shù),于是,

該函數(shù)在(-∞,-]上是減函數(shù), 在[-,0)上是增函數(shù);

     (3) 可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).

        當n是奇數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

                                   在(-∞,-]上是增函數(shù), 在[-,0)上是減函數(shù);

        當n是偶數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

                                   在(-∞,-]上是減函數(shù), 在[-,0)上是增函數(shù);

        F(x)=+

           =

        因此F(x) 在 [,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).

        所以,當x=或x=2時,F(xiàn)(x)取得最大值()n+()n;

              當x=1時F(x)取得最小值2n+1

 

 


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