解:由題意. ∴橢圓方程可設(shè)為: 設(shè)直線l:y=k(x-1).顯然k≠0.將直線方程代入橢圓方程: 整理得: ①設(shè)交點A().B().中點M().而中點在直線上. ∴ ∴.求得:k=-1.將k=-1代入①. 其中△>0求得.點F(c.0)關(guān)于直線l:y=-x+1的對稱點在橢圓上.代入橢圓方程:∴1+2(1-c)2-2c2=0. ∴c=∴所求橢圓為C: .直線l方程為: 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

(I)求橢圓的方程;

(II)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設(shè)為橢圓上一點,且滿足O為坐標(biāo)原點),當(dāng) 時,求實數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。

第一問中,利用

第二問中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的不等式,表示得到t的范圍。

解:(1)由題意知

 

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已知m>1,直線,橢圓C:,分別為橢圓C的左、右焦點.

(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點時,求直線的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.[

【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點,0),所以,得.又因為m>1,所以,故直線的方程為

第二問中設(shè),由,消去x,得,

則由,知<8,且有

由題意知O為的中點.由可知從而,設(shè)M是GH的中點,則M().

由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍

 

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設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標(biāo)原點.

(Ⅰ)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解:設(shè)點P的坐標(biāo)為.由題意,有  ①

,得,

,可得,代入①并整理得

由于,故.于是,所以橢圓的離心率

(2)證明:(方法一)

依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

,

.

整理得.而,于是,代入②,

整理得

,故,因此.

所以.

(方法二)

依題意,直線OP的方程為,設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上,有

因為,,所以,即   ③

,得整理得.

于是,代入③,

整理得

解得,

所以.

 

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已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

,再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………2分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分

 代入橢圓E方程,得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,

圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分

同理,當(dāng)m=-3時,直線l方程為y=-x-3,

圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4

 

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設(shè)橢圓 )的一個頂點為,分別是橢圓的左、右焦點,離心率 ,過橢圓右焦點 的直線  與橢圓 交于 , 兩點.

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線  的方程;若不存在,說明理由;

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。(1)中橢圓的頂點為,即又因為,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時,當(dāng)直線斜率不存在時,聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。

解:(1)橢圓的頂點為,即

,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

(2)由題可知,直線與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時,經(jīng)檢驗不合題意.                    --------5分

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)存在直線,且,.

,       ----------7分

,               

   = 

所以,                               ----------10分

故直線的方程為 

 

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