題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
第二問中,因為,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時,有最大值,此時,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時,有最大值,此時,
所以,的最大值為
已知函數(shù),(),
(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1)上的最大值。
【解析】(1),
∵曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線
∴,
∴
(2)令,當(dāng)時,
令,得
時,的情況如下:
x |
|||||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上的最大值為,
當(dāng)且,即時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上的最大值為
當(dāng),即a>6時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞贈,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增。又因為
所以在區(qū)間上的最大值為。
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中,利用存在實數(shù),使對任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因為,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當(dāng)時,有,當(dāng)時,有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來源:]
所以當(dāng)時,恒有;當(dāng)時,恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
設(shè)函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<-1時,y=f(x)的圖象是經(jīng)過A(-2,0)、B(-3,-1)兩點(diǎn)的一條射線,當(dāng)-1≤x≤1時,y=f(x)的圖象是頂點(diǎn)在(0,),對稱軸是y軸,且過點(diǎn)(-1,1)的一段拋物線.
(1)試求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)畫出f(x)的圖象并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間.
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