題目列表(包括答案和解析)
已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△A、△B的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問中因?yàn)橹本經(jīng)過點(diǎn)(,0),所以=,得.又因?yàn)閙>1,所以,故直線的方程為
第二問中設(shè),由,消去x,得,
則由,知<8,且有
由題意知O為的中點(diǎn).由可知從而,設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M().
由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓C;其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
第二問中,
假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為
因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為
因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
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