4．分類討論法 [例8]已知三個(gè)集合A={x∣x2-3x+2=0}.B={x∣x2-ax+a=1}.C={x∣x2-bx+2=0}．試問同時(shí)滿足BA且C?A的實(shí)數(shù)a和b是否存在?若存在.求出a.b的所有值,若不存在.請(qǐng)說明理由． [分析]先化簡(jiǎn)集合A.B及C.然后運(yùn)用條件BA且C?A探求a與b的值或說明其不存在． [解]由 x2-3x+2=0.解得 x=1或x=2.于是A={1.2}． 由x2-ax+a=1.解得 x=1或x=a -1．于是. 當(dāng)a=2時(shí).B={1},當(dāng)a≠2時(shí).B={1.a-1}． 先求實(shí)數(shù)a的可能取值: 當(dāng)a=2.即B={1}時(shí).不滿足BA.故a≠2, 當(dāng)B={1.a-1}.即a≠2時(shí).由BA.得a-1≠2.于是a≠3． 其次求實(shí)數(shù)b的可能取值: 對(duì)于方程x2-bx+2=0.其判別式 ⊿=b2-8． 當(dāng)⊿<0.即時(shí).方程x2-bx+2=0無解.C=.顯然滿足題設(shè), 當(dāng)⊿=0.即b= 時(shí).方程x2-bx+2=0的解為x=.C＝{}.即C={}(當(dāng)b=)或C={}(當(dāng)b=).此時(shí).不能滿足C?A.故b≠, 當(dāng)⊿>0.即或時(shí).方程x2-bx+2=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根..于是C={.}．若C?A.則必有1∈C或2∈C．但·=2.故.均不能為1或2.從而此種情形下無解． 故滿足條件的實(shí)數(shù)a與b均存在.且a∈R.a≠2.3.． [點(diǎn)悟]①解題關(guān)鍵點(diǎn)是弄清每一個(gè)集合中的元素.理清集合間的關(guān)系.正確合理使用題中所給信息.對(duì)問題所及方面進(jìn)行正確的分類． ②解題技巧是對(duì)集合A.B與C的化簡(jiǎn)及對(duì)集合A與B的分別求解． ③解題易錯(cuò)點(diǎn)是忽視對(duì)集合元素的互異性的檢驗(yàn).遺漏空集是任何非空集合的真子集的情形.忽視對(duì)集合B的元素個(gè)數(shù)是一個(gè)還是兩個(gè)的討論． [例9]設(shè)集合A={x∣x2+px+1=0}.B={ x∣x >0}.當(dāng)A∩B=.求實(shí)數(shù)p的取值范圍． [分析]利用根的判別式與0的大小關(guān)系分A為空集和非空集的情況討論求解． [解]因 A∩B=.故 A=或A中的元素只有非正數(shù)． 若A=.則⊿=p2-4<0.解得 -2< p<2, 若A中的元素只有非正數(shù).則 ⊿≥0且= -p≤0..解得 p≥2． 于是實(shí)數(shù)p的取值范圍為p>-2． [點(diǎn)悟]①解題關(guān)鍵點(diǎn)是將集合語言準(zhǔn)確地翻譯成文字語言.即轉(zhuǎn)換成一種更為直觀淺顯的條件． ②解題規(guī)律是對(duì)于含有參數(shù)的一元二次方程根的情況可使用判別式法進(jìn)行討論求之． ③解題易錯(cuò)點(diǎn)是忽視A=的情況.引起失解.縮小p的取值范圍． [例10]已知集合P=． (1)若P中只有一個(gè)元素.試求a的值.并把這個(gè)元素寫出來, (2)若P中至多只有一個(gè)元素.試求a的取值范圍． [分析]x2前的系數(shù)為a.它在變化.故須對(duì)a進(jìn)行討論:它可能是一元一次方程.也可能是一元二次方程,它可能有實(shí)數(shù)根.也可能無實(shí)數(shù)根． [解]集合P表示方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解的集合． (1)當(dāng)時(shí).⊿=.a =4.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.P中只有一個(gè)元素,當(dāng)a=0時(shí).方程為一元一次方程.方程只有唯一解．故當(dāng)P中只有一個(gè)元素時(shí).a=4或0．當(dāng)a=4時(shí).元素為,當(dāng)a=0時(shí).元素為． (2)P中至多只有一個(gè)元素.包含P為空集和P中只有一個(gè)元素兩種情形．當(dāng)P為空集時(shí).由及⊿=解得a>4.從而a的取值范圍為或a=0． [點(diǎn)悟]①解題關(guān)鍵點(diǎn)是正確審題.搞清“只有一個(gè) 與“至多只有一個(gè) 的真正含義并注意它們的區(qū)別.注意參數(shù)a所在的位置(這里的a在二次項(xiàng)系數(shù)前.因而方程未必為二次的)對(duì)解題的影響． ②解題規(guī)律是根的判別式⊿只適用于實(shí)系數(shù)一元二次方程根的討論． ③解題易錯(cuò)點(diǎn)是混淆“空集是不含任何元素的集合 的概念.從而遺漏對(duì)空集情況的檢驗(yàn)討論,另一方面容易忽視對(duì)方程次數(shù)即a=0的情況的討論． 【查看更多】

 

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