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3．球的表面積公式和體積公式:設(shè)球的半徑為R.則球的表面積S＝ ,球的體積V＝．典型例題例1. 如圖.A.B.C是半徑為1的球面上的三點(diǎn).B.C兩點(diǎn)間的球面距離為.點(diǎn)A與B.C兩點(diǎn)的球面距離都為.O為球心.求: (1) 的大小, (2) 球心O到截面ABC的距離．解:(1) 因?yàn)锽.C兩點(diǎn)的球面距離為.即B.C兩點(diǎn)與球心連線所夾圓心角為.點(diǎn)A與B.C兩點(diǎn)的球面距離都為.即均為直角.所以 (2) 因?yàn)楱SBOC.⊿ABC都是等腰三角形.取BC的中點(diǎn)M.連OM.AM.過(guò)O作OH⊥AM于H.可證得OH即為O到截面ABC的距離．變式訓(xùn)練1: 球面上有三點(diǎn)A.B.C.A和B及A和C之間的球面距離是大圓周長(zhǎng)的.B和C之間的球面距離是大圓周長(zhǎng)的.且球心到截面ABC的距離是.求球的體積．解:設(shè)球心為O.由已知.易得∠AOB＝∠AOC＝.∠BOC＝.過(guò)O作OD⊥BC于D.連AD.再過(guò)O作OE⊥AD于E.則OE⊥平面ABC于E.∴OE＝. 在Rt△AOD中.由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．例2. 如圖.四棱錐A-BCDE中..且AC⊥BC.AE⊥BE． (1) 求證:A.B.C.D.E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上, (2) 若求B.D兩點(diǎn)間的球面距離．解:(1) 因?yàn)锳D⊥底面BCDE.所以AD⊥BC.AD⊥BE.又因?yàn)锳C⊥BC.AE⊥BE.所以BC⊥CD.BE⊥ED．故B.C.D.E四點(diǎn)共圓.BD為此圓的直徑．取BD的中點(diǎn)M.AB的中點(diǎn)N.連接BD.AB的中點(diǎn)MN.則MN∥AD.所以MN⊥底面BCDE.即N的射影是圓的圓心M.有AM＝BM＝CM＝DM＝EM.故五點(diǎn)共球且直徑為AB． (2) 若∠CBE＝90°.則底面四邊形BCDE是一個(gè)矩形.連接DN.因?yàn)? 所以B.D兩點(diǎn)間的球面距離是. 變式訓(xùn)練2:過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)M作三條兩兩互相垂直的弦MA.MB.MC． (1) 求證:MA2+MB2+MC2為定值, (2) 求△MAB.△MAC.△MBC面積之和的最大值．解:(1) 易求得MA2+MB2+MC2＝4R2! (2) S△MAB+S△MAC+S△MBC＝≤(MA2+MB2+MC2)＝2R2(當(dāng)且僅當(dāng)MA＝MB＝MC時(shí)取最大值). 例3.棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若過(guò)該球球心的一個(gè)截面.則圖中三角形的面積是( ) A． B． C． D．解:設(shè)正四面體為正四面體ABCD.分析截面圖可知.截面經(jīng)過(guò)正四面體的一條棱設(shè)為CD.又過(guò)球心.設(shè)截面與棱AB交于E點(diǎn).則E為AB的中點(diǎn).易求得截面三角形的面積為. 故選(C)．變式訓(xùn)練3:已知三棱錐P-ABC中.E.F分別是AC.AB的中點(diǎn).△ABC.△PEF都是正三角形.PF⊥AB. (1) 證明:PC⊥平面PAB, (2) 求二面角P-AB-C的平面角的余弦值, (3) 若點(diǎn)P.A.B.C在一個(gè)表面積為12π的球面上.求△ABC的邊長(zhǎng). 解 (1) 連結(jié)CF.∵PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB. (2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC為所求二面角的平面角設(shè)AB＝a, 則PF＝EF＝, CF＝, ∴cos∠PFC＝. (3) 設(shè)PA＝x, 球半徑為R ∵PC⊥平面PAB.PA⊥PB ∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圓為球之小圓.由x2＝x·2R. 得△ABC的邊長(zhǎng)為2. 小結(jié)歸納【查看更多】

請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差