題型1:正.余弦定理 (2009岳陽(yáng)一中第四次月考).已知△中......則 ( ) A.． B ． C． D． 或 答案 C 例1．(1)在中.已知..cm.解三角形, (2)在中.已知cm.cm..解三角形(角度精確到.邊長(zhǎng)精確到1cm). 解析:(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理. , 根據(jù)正弦定理. , 根據(jù)正弦定理. (2)根據(jù)正弦定理. 因?yàn)椋迹?所以.或 ①當(dāng)時(shí). . ②當(dāng)時(shí). . 點(diǎn)評(píng):應(yīng)用正弦定理時(shí)(1)應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí).可能有兩解的情形,(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器 例2．(1)在ABC中.已知...求b及A, (2)在ABC中.已知...解三角形 解析:(1)∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理.也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos ∴ 解法二:∵sin 又∵＞＜∴＜.即＜＜ ∴ (2)由余弦定理的推論得: cos , cos , 點(diǎn)評(píng):應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍. 題型2:三角形面積 例3．在中....求的值和的面積. 解法一:先解三角方程.求出角A的值. 又, , . 解法二:由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值. ① , ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 從而 . 以下解法略去. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查三角恒等變形.三角形面積公式等基本知識(shí).著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力.是一道三角的基礎(chǔ)試題.兩種解法比較起來(lái).你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢? 例4．在銳角中.則的值等于 . 的取值范圍為 . 答案 2 解析 設(shè)由正弦定理得 由銳角得. 又.故. 例5．在中.角所對(duì)的邊分別為.且滿足.． (I)求的面積, (II)若.求的值． 解 (1)因?yàn)?.又由 得. (2)對(duì)于.又.或.由余弦定理得 . 例6．在中.內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為...已知.且 求b 分析::此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對(duì)已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理,而對(duì)已知條件(2) 過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分. 解法一:在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得:.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又. .即 由正弦定理得.故 ② 由①.②解得. 評(píng)析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié).提高自己對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.另外提醒:兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行.不必強(qiáng)化訓(xùn)練 題型4:三角形中求值問(wèn)題 例7．的三個(gè)內(nèi)角為.求當(dāng)A為何值時(shí).取得最大值.并求出這個(gè)最大值. 解析:由A+B+C=π.得=-.所以有cos =sin. cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin=-22+ , 當(dāng)sin = .即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為. 點(diǎn)評(píng):運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式.通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果. 例8．在中.角所對(duì)的邊分別為.且滿足.． (I)求的面積, (II)若.求的值． 解(Ⅰ) 又..而.所以.所以的面積為: 知.而.所以 所以 點(diǎn)評(píng):本小題主要考察三角函數(shù)概念.同角三角函數(shù)的關(guān)系.兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式.考察應(yīng)用.分析和計(jì)算能力 題型5:三角形中的三角恒等變換問(wèn)題 例9．在△ABC中.a.b.c分別是∠A.∠B.∠C的對(duì)邊長(zhǎng).已知a.b.c成等比數(shù)列.且a2-c2=ac-bc.求∠A的大小及的值. 分析:因給出的是a.b.c之間的等量關(guān)系.要求∠A.需找∠A與三邊的關(guān)系.故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a.再用正弦定理可求的值. 解法一:∵a.b.c成等比數(shù)列.∴b2=ac. 又a2-c2=ac-bc.∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中.由余弦定理得:cosA===.∴∠A=60°. 在△ABC中.由正弦定理得sinB=.∵b2=ac.∠A=60°. ∴=sin60°=. 解法二:在△ABC中. 由面積公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac.∠A=60°.∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 評(píng)述:解三角形時(shí).找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理.找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理. 例10．在△ABC中.已知A.B.C成等差數(shù)列.求的值. 解析:因?yàn)锳.B.C成等差數(shù)列.又A+B+C＝180°.所以A+C＝120°. 從而＝60°.故tan.由兩角和的正切公式. 得. 所以 . 點(diǎn)評(píng):在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路.一般是運(yùn)用基本公式.將未知角變換為已知角求解.同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用. 題型6:正.余弦定理判斷三角形形狀 例11．在△ABC中.若2cosBsinA＝sinC.則△ABC的形狀一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 答案:C 解析:2sinAcosB＝sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB＝sinC. ∴sin(A-B)＝0.∴A＝B 點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的基本性質(zhì).要求通過(guò)觀察.分析.判斷明確解題思路和變形方向.通暢解題途徑 例12．在中.為銳角.角所對(duì)的邊分別為.且 (I)求的值, (II)若.求的值. 解(I)∵為銳角. ∴ ∵ ∴ 知.∴ 由得 .即 又∵ ∴ ∴ ∴ 題型7:正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 例13．如圖.A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi).B.D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為..于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為.AC=0.1km.試探究圖中B.D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等.然后求B.D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km.1.414.2.449) 解:在△ABC中.∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°. 故CB是△CAD底邊AD的中垂線.所以BD=BA. 在△ABC中. 即AB= 因此.BD= 故B.D的距離約為0.33km. . 點(diǎn)評(píng):解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí).又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低.對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展.但也不可太難.只要掌握基本知識(shí).概念.深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān). 為了測(cè)量?jī)缮巾擬.N間的距離.飛機(jī)沿水平方向在A.B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A.B.M.N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A.B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案.包括:①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示.并在圖中標(biāo)出),②用文字和公式寫出計(jì)算M.N間的距離的步驟 解:方案一:①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有:A 點(diǎn)到M.N點(diǎn)的俯角,B點(diǎn)到M. N的俯角,A.B的距離 d . ②第一步:計(jì)算AM . 由正弦定理 , 第二步:計(jì)算AN . 由正弦定理 , 第三步:計(jì)算MN. 由余弦定理 . 方案二:①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有: A點(diǎn)到M.N點(diǎn)的俯角.,B點(diǎn)到M.N點(diǎn)的府角.,A.B的距離 d . ②第一步:計(jì)算BM . 由正弦定理 , 第二步:計(jì)算BN . 由正弦定理 , 第三步:計(jì)算MN . 由余弦定理21.在中.為銳角.角所對(duì)的邊分別為.且 (I)求的值, (II)若.求的值. 解(I)∵為銳角. ∴ ∵ ∴ 知.∴ 由得 .即 又∵ ∴ ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng):三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用.本題就是一個(gè)典型的范例.通過(guò)引入角度.將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言.再通過(guò)局部的換元.又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù).這些解題思維的拐點(diǎn).你能否很快的想到呢? 【查看更多】

 

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