在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為A₁B和CC₁的中點(diǎn)．求：

（Ⅰ）直線MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直線A₁B和平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）點(diǎn)N到直線AB的距離．

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M為棱BB₁上的一點(diǎn)，當(dāng)

B1M

MB

的值為多少時(shí)能使D₁M⊥平面EFB₁？試給出證明．

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，G為上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD與BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大��；
（III）求點(diǎn)D到平面B₁EF的距離．

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是C₁B₁的中點(diǎn)，若E，F(xiàn)都是AB上的點(diǎn)，且|EF|=

a

2

，Q是A₁B₁上的點(diǎn)，則四面體EFPQ的體積是．