17. 某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

項 目

類 別

年固定

成本

每件產(chǎn)品

成本

每件產(chǎn)品

銷售價

每年最多可

生產(chǎn)的件數(shù)

A產(chǎn)品

20

m

10

200

B產(chǎn)品

40

8

18

120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計．另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交萬美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．

  （Ⅰ）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

（Ⅱ）如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃．

18. 中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準(zhǔn)線問的距離為10．設(shè)A(5,0)，

  B(1，0)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓

    的方程；

(3)過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S．

    若=t（t＞1），求證：=t

19. 已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對每個給定的實數(shù)，

（1）求對所有實數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；

（2）設(shè)是兩個實數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）

20. 已知數(shù)列中，且點在直線上。

 (1)求數(shù)列的通項公式;

(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；

 (3)設(shè)表示數(shù)列的前項和。試問：是否存在關(guān)于的整式，使得

對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。

試題答案

1.3+i    2、  3.  （1,0）   4.    5. 0  6.   7. 168  8.  5049  

9.    10.    11. 0或-2   12.    13. .   14. 2  

15. 解：（1）由已知條件得：          

 所以，                                      

又 ，所以                         

（2）∵，由正弦定理，得，且

所以有，                  

整理得：，從而有：

．                           

16. 證明:因為∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.                      

同理可得AB⊥PA.                     

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

所以PA⊥平面ABCD.                                         

（2）解:（方法一）不平行.                        

證明：假定直線l∥平面ABCD,

由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD. 

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                                

這與AB和CD是直角梯形ABCD的兩腰相矛盾,

故假設(shè)錯誤，所以直線l與平面ABCD不平行.                 

（方法二）因為梯形ABCD中AD∥BC,

所以直線AB與直線CD相交，設(shè)ABCD=T.                   

由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

同理T平面PAB.                                        

即T為平面PCD與平面PAB的公共點，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線.

所以直線與平面ABCD不平行.                                

17. 解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為：

       且

（Ⅱ），，，為增函數(shù)，

時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（萬美元）

又時，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤為460（萬美元）                            

     現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

    所以：當(dāng)時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；

          當(dāng)時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；

          當(dāng)時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤

18. 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

依題意得：，得   ∴  所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)過點的直線方程為：，代入橢圓方程得;

  (*)

依題意得：，即 

得：，且方程的根為  

當(dāng)點位于軸上方時，過點與垂直的直線與軸交于點，

直線的方程是：，  

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：

同理可得：當(dāng)點位于軸下方時，圓的方程為：．

（3）設(shè)，由=得：，代入

（**）    要證=，即證

由方程組（**）可知方程組（1）成立,(2)顯然成立．∴=

19. 解：（1）由的定義可知，（對所有實數(shù)）等價于

（對所有實數(shù)）這又等價于，即

對所有實數(shù)均成立.        （*）

  由于的最大值為，

  故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件

（2）分兩種情形討論

     （i）當(dāng)時，由（1）知（對所有實數(shù)）

則由及易知，

再由的單調(diào)性可知，

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設(shè)，則，于是

   當(dāng)時，有，從而；

當(dāng)時，有

從而  ；

當(dāng)時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標(biāo)為

                          ⑴

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區(qū)間上，   （參見示意圖2）

故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

20. 解：（1）由點P在直線上，

即，

且，數(shù)列{}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列

   ，同樣滿足，所以

  （2）

     所以是單調(diào)遞增，故的最小值是

（3），可得，

     ，

……

，n≥2

故存在關(guān)于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.