北京市人大附中2007屆摸底考試數(shù)學(xué)試卷（文科）

命題人：羅  霞

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷 1至2頁(yè)，第II卷3至8頁(yè)，共150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷（選擇題共40分）

注意事項(xiàng)： 1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫(xiě)在答題卡上；

           2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；

3．考試結(jié)束，將答題卡和第II卷3至8頁(yè)試卷一并交回.

一、  本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

1．設(shè)全集U=R，是                    （    ）

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       A．                                                        B．

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       C．                               D．

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2．若條件則成立的（     ）

A. 必要不充分條件                      B. 充分不必要條件

C. 充要條件                            D. 既不充分又不必要條件

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3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為  （     ）

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A．70             B．0               C．210               D．0

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4. 已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相平行，則的值為                                                               （    ）

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A. 0           B.   0或              C.             D.0 或

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5．給出下面的四個(gè)命題：

（1）兩個(gè)側(cè)面為矩形的四棱柱是直四棱柱；

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（2）平行六面體

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（3）若

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（4）

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（    ）

A.    1             B. 2               C .3                 D.  4

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6．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（    ）

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       A．                   B．            C．                     D．

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7．在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為   （    ）

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 A．               B．               C．              D．

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8．一個(gè)機(jī)器人每一秒鐘是前進(jìn)或者后退一步，現(xiàn)在程序設(shè)計(jì)師讓機(jī)器人以前進(jìn)3步，然后再后退2步的規(guī)律移動(dòng). 如果將機(jī)器人放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向軸的正方向，以1步的距離（機(jī)器人的每步的距離一樣長(zhǎng)）為1個(gè)單位長(zhǎng)度. 令P(n)表示第n秒時(shí)機(jī)器人所在位置的坐標(biāo)，且記P(0)=0，則下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的是                                                                     （    ）

     A. P(3)=3                   B. P(5)=1     C. P(2003)>P(2005)                 D. P(2003)<P(2005)

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二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．

9．某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車(chē)，產(chǎn)量分別為1 200輛，6 000輛和2 000輛．為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車(chē)依次應(yīng)抽取_________，___________，____________輛．

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10．函數(shù)的反函數(shù)是               ．

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11．在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到棱的距離等于它到另一個(gè)面的距離的2倍，則二面角的度數(shù)為          ．（寫(xiě)出范圍在內(nèi)的解）

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12．設(shè)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為        ．

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13．若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為          ．

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14．讀下列命題，請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上             .

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①已知命題與命題，若是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件；

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②若函數(shù)對(duì)定義域中的總有是奇函數(shù)；

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③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，－2）成中心對(duì)稱(chēng)；

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④已知f(x)是R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+2)= f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)=，

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則2007.5)的值為0.5．

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二、  解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15. （本題滿(mǎn)分12分）已知集合，并且滿(mǎn)足求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

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16. （本題滿(mǎn)分13分）在8件產(chǎn)品中,有5件合格品,3件次品.從中任意取出4件，求下列事件發(fā)生的概率.

（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品 ；       

（Ⅱ）至少取出一件次品.

 

 

 

 

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17.  (本題滿(mǎn)分13分)

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已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.

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（1）       求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（2）       若對(duì)Î，不等式恒成立，求的取值范圍.

 

 

 

 

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18. (本小題滿(mǎn)分14分)

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如圖，四棱錐中，底面,且，與

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底面成角，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

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（Ⅰ）求證：平面；

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（Ⅱ）求二面角的大�。�

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（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求異面直線(xiàn)所成的角.

 

 

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19．（本題滿(mǎn)分14分）

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設(shè)函數(shù)＝的圖象關(guān)于直線(xiàn)－＝0對(duì)稱(chēng).

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（1）求的值；   

 

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（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）上的單調(diào)性；

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（3）若直線(xiàn)＝（∈R）與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，且＜2＋，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

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20.（本小題滿(mǎn)分14分）

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   對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).

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 （1）當(dāng)時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)；

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 （2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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 （3）在（2）的條件下，若的圖象上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的最小值.

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一．選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；              10．；            11．；

12．；                  13．{0<≤3}；                      14．③④

三、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15．解： ；  ………5分

方程有非正實(shí)數(shù)根

 

綜上： ……………………12分

16. 解：（Ⅰ）設(shè)取出的4件中有2件合格品或3件合格品分別為事件A、B，則

        

         ∵A、B為兩個(gè)互斥事件      ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

        答： 取出2件合格品或3件合格品的概率為…………6分

   （Ⅱ）取出4件都為合格品的事件為C，則P（C）=

至少取出一件次品的事件為事件C的對(duì)立事件,其概率為

     答：至少取出一件次品的概率為.…………13分

17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2。。。。。。。。。4分

f¢（x）＝32－－2＝（3＋2）（－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

極大值

¯

極小值

­

所以函數(shù)f（）的遞增區(qū)間是（－¥，－）與（1，＋¥）

遞減區(qū)間是（－，1）。。。。。。。。。。。7分

（2）f（x）＝3－2－2＋c，Î，由（1）當(dāng)＝－時(shí)，f（x）＝＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。

要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分

 

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；4分

　（Ⅱ）解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴為二面角的平面角，7分

　∵底面，

　∴與底面所成的角即為，

　∴＝，

　∵為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，

　∴為等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小為；9分

（Ⅲ）法１：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則或其補(bǔ)角即為異面直

　　　線(xiàn)所成的角，11分

∵為的中點(diǎn),∴為為的中點(diǎn), 設(shè)，則由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知為直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，13分

∴為直角三角形，為直角，

∴異面直線(xiàn)所成的角為．14分

或者用三垂線(xiàn)定理，首先證明DB與BC垂直也可以

因?yàn)?sub>　∴＝，又，

所以，即DB與BC垂直

法２：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則

則，，，

，∴異面直線(xiàn)所成的角為……………． 14分

19．解：1）由＝.＝，∴＝1；……….4分

（2）＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，

任取、∈（1，＋∞），且設(shè)＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；……………9分

（3）當(dāng)直線(xiàn)＝（∈R）與的圖象無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜…………..14分

20．解

（1）當(dāng)時(shí)，     

    設(shè)為其不動(dòng)點(diǎn)，即

則    的不動(dòng)點(diǎn)是－1，2……….. 4分

（2）由得：.  由已知，此方程有相異二實(shí)根，

恒成立，即即對(duì)任意恒成立.

…………………. …………10分

（3）設(shè)，

直線(xiàn)是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，   ∴

記AB的中點(diǎn)由（2）知   

化簡(jiǎn)得：時(shí)，等號(hào)成立）.

……………………………………………………………14分

 


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