黃岡八所重點高中高三五月模擬考數學試卷（理科）

（含答案及評分標準）

一.選擇題：本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求。

1.若,是虛數單位,且,則在復平面內,復數所對應的點在(    ).

A.第一象限       B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限

2.已知,其中,則滿足條件的不共線的

  向量共有(    ).

A.個               B.個               C.個               D.個

3. 函數的一條對稱軸方程為 （    ）

A            B           C          D 

4.在四邊形中，，

則的值為（  �。�    

A  0　　　B 　　　C  4　　　D 

5. 已知,若時有成立,則的值為(   )    

A.0       B.      C.      D.不確定

6.已知,則(    ).

A.       B.          C.        D.不存在

7.設雙曲線的兩條漸近線與右準線的三角形區(qū)域(包含邊界)為,為內一個動點,則目標函數的最小值為(    ).

    A.        B.          C.         D.

 8.已知是雙曲線的兩焦點,以線段為邊作正三角形,若邊的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是(  ).

A.           B.          C.           D.

9. 數列，2005，……，從第二項開始每一項等于它相鄰兩項的乘積減去1。問有多少個實數x能夠使得2008成為這個數列的某一項？（     ）

A．無窮多個        B．2個           C．3個           D．4個

10. 過四面體的頂點作半徑為的球，該球與四面體的外接球相切于點，且與平面相切。若，則四面體的外接球的半徑為(  )

二.填空題：本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上。

11.已知二項式展開式的第項與第項之和為零,那么等于   

12. 甲、乙兩人玩猜數字游戲,先由甲心中任想一個數字,記為,再由乙猜甲剛才想的數字,把乙猜的數字記為,且,若,則稱甲乙”心有靈犀”.現任意找兩個人玩這個游戲,得出他們”心有靈犀”的概率為     .

13. 已知函數,則的值為       .

14.如右圖所示,在單位正方體的面對

角線上存在 一點使得最短,則

的最小值為     

15. 對于函數，（ ）有下列命題：

①函數的定義域是，值域是；

②函數的圖像是中心對稱圖形，且對稱中心是；

③函數在時，在與上單調遞增；

④函數必有反函數，且當時，;

⑤不等式的解集就是不等式的解集.其中正確的命題有                           .     

三.解答題：本大題6個小題,共75分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

 16.(本小題滿分12分)

已知是定義在上的偶函數,當 時,,當時,的圖像是斜率為且在軸上的截距為的直線在相應區(qū)間上的部分.

     ⑴求、的值；

     ⑵寫出函數的表達式,作出其圖像,并根據圖像寫出函數的單調區(qū)間.

17.(本題滿分12分)

 四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

紀念幣

A

B

C

D

概率

1/2

1/2

a

a

這四個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示正面向上的個數。

（1）求概率p(ξ)

（2）p（ξ=2）為最大時，a的取值范圍。

（3）求ξ的數學期望。

18.(本題滿分12分)

 如圖,矩形與所在平面垂直,將矩形沿對折,使得翻

 折后點落在上,設.

 ⑴試求關于的函數解析式；

 ⑵當取最小值時,指出點的位置,

  并求出此時與平面所成的角；

 ⑶在條件⑵下,求三棱錐 內切球的半徑.

19.(本題滿分12分)

已知雙曲線的右焦點是,右頂點是,虛軸的上端點

  是,,.

   ⑴求雙曲線的方程；

   ⑵設是雙曲線上的點,過點、的直線與軸交于點,若,求直線 的斜率.

20.(本題滿分13分)

已知函數(為常數)是實數集上的奇函數,函數是區(qū)間 上的減函數.

 ⑴若在上恒成立,求的取值范圍；

 ⑵討論關于的方程的根的個數.

21.(本題滿分14分)

 已知負數a和正數b，令a1=a，b1=b，且對任意的正整數k，當≥0時,有ak+1=ak，

bk+1=；當<0,有ak+1 =，bk+1 = bk．

（1）求bn-an關于n的表達式；

（2）是否存在a,b，使得對任意的正整數n都有bn>bn+1？請說明理由．

（3）若對任意的正整數n，都有b2n-1>b2n，且b2n=b2n+1，求bn的表達式．

答案解析

一.選擇題(本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)

 1. 選：C  因，由復數相等的定義：

2.選：C  依題意很容易寫出16組向量的坐標即

  但與共線；共線；共線，所以16-4=12（個）

3. 選：D  原式即，畫圖可得對稱軸為或利用三角函數的圖像特征：對稱軸一定過最值點，同樣可得。

4. 選A：  因所以，又由知，所以四邊形為平行四邊形

 故

5.選A

6.選C：

7. 選B：如圖

8. 選D：由雙曲線的對稱性知點M一定在y軸上，設邊的中點為，由，所以，故點坐標是代入雙曲線方程得

9. 解：由遞推關系可得各項為，2005，，，，，2005，…，對 歸納可證，所以2008為數列的項，，，之一等于2008，因此有4個這種。

 10. 選：C.  過作平面的垂線，垂足為，作，垂足為，，垂足為，則，且有。由于，則，，，因此為半徑為的球的直徑，從而四面體的外接球的球心在的延長線上，于是有，解得。

二.填空題(本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上)

 11．填：2  通項公式，故，解得

12. 填：0.28    

13.   填：  

14.將矩形A1D1CB沿A1B折起使之與直角三角形A1AB在同一面內如右圖

連接D1A交A1B于P點,此點即使的值最小值為

 15. 填：①②③④⑤ 

三.解答題(本大題6個小題,共75分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.解：（1）。                                        

(2)  ----------------------------------------6分                           

畫出在上的圖像如圖所示.∴函數的單調增區(qū)間是和,

   單調減區(qū)間是和.-------------------------------------------12分

17.(本題滿分12分)

解：（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。

∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2?a2=(1+2a-2 a2)

p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

p(ξ=4)= ()2 a2=a2 ------------------------------------------------------4分

(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=0) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

則p(ξ=2)p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)－≥0

   p(ξ=2)p(ξ=3)≥0

由    ，即a∈[]

                                         -------------------------------------------8分

  （3）由（1）知ξ的數學期望為Eξ=0×2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1   ------------------------------------------------------------------------12分

18.(本題滿分12分)    

解：(1)顯然h＞1，連接AQ，∵平面ABCD⊥平面ADQP,

PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h(huán)2.∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,

CQ=,

∴,即.∴y=(h＞1).   ---------------------------4分                                                                              

(2)y===+≥2,                                                                                 

當且僅當,即h=時，等號成立.

此時CQ=1,即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,

∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.           -----------------------------------------------8分           

(3)設三棱錐P－ADQ的內切球半徑為r,則(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)?r=VP－ADQ .

∵VP－ADQ=S△ADQ?PA=,S△PAQ=1,S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,

∴r=----------------------------------------------------------------12分

 19.(本題滿分12分)

解：（1）由條件知A（a，0），B（0，b），F（c，0）

故雙曲線的方程為------------------------6分

（2）∵點F的坐標為

∴可設直線l的方程為，

令x=0，得即設Q（m，n），則由

故直線l的斜率為-------------------------------------------------------------------12分

 20.(本題滿分13分)

解：（1）是奇函數，

       則恒成立.

又在[－1，1]上單調遞減，

       令則

       .-----------------------------6分

   （2）由（I）知

       令，

       ，

       當上為增函數；

       上為減函數，