1．函數(shù)的最小正周期T=             .

2．若             .

3．在等差數(shù)列中，a₅=3, a₆=－2,則a₄+a₅+…+a₁₀=             .

4．已知定點A（0，1），點B在直線x+y=0上運動，當線段AB最短時，點B的坐標

是             .

5．在正四棱錐P―ABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°，則異面直線PA與BC所成角的大小等于             .（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

6．設(shè)集合A={x||x|<4},B={x|x²－4x+3>0}, 則集合{x|x∈A且=             .

7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,則∠ABC=             .（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

8．若首項為a₁，公比為q的等比數(shù)列的前n項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項a₁，公比q的一組取值可以是（a₁，q）=             .

9．某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成.現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為             .（結(jié)果用分數(shù)表示）

10．方程x³+lgx=18的根x≈             .（結(jié)果精確到0.1）

11．已知點其中n為正整數(shù).設(shè)S_n表示△ABC外接圓的面積，則=             .

12．給出問題：F₁、F₂是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F₁的距離等于9，求點P到焦點F₂的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由

   ||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

   該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi).

                                                                              .

13．下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在（0，π）上單調(diào)遞增的是                                 （    ）

                                       A．y=tg|x|.                                               B．y=cos(－x).

                                       C．                                                        D．.

14．在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是                                                     （    ）

                                       A．α、β都垂直于平面r.

                                       B．α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等.

                                       C．l，m是α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β.

                                       D．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.

15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四點中，函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點只可能是點                                                                 （    ）

                                       A．P．                   B．Q.                        C．M.              D．N.

16．f()是定義在區(qū)間[－c,c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下

                                       A．若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點對稱.

                                       B．若a=1， 0<b<2,則方程g（）=0有大于2的實根.

                                       C．若a=－2,b=0,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

                                       D．若 a≠0,b=2,則方程g（）=0有三個實根.

17．（本題滿分12分）

    已知復(fù)數(shù)z₁=cosθ－i，z₂=sinθ+i，求| z₁?z₂|的最大值和最小值.

18．（本題滿分12分）

    已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B₁D⊥BC，直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的體積.

19．（本題滿分14分）

    已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.

20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

   （1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱

        寬l是多少？

   （2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)

        計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧

        道的土方工程量最�。�

      （半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米）

21．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分.

    在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

   （1）求向量的坐標；

   （2）求圓關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；

   （3）是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

22．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分.

已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項是a₁，公比為q的等比數(shù)列.

   （1）求和：

   （2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明.

   （3）設(shè)q≠1，S_n是等比數(shù)列的前n項和，求：

2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）

數(shù)學(xué)（文史類）答案

1．π.  2．.   3．－49 .  4．.   5．a(chǎn)rctg2.   6．[1,3].

7．   8．的一組數(shù)）. 9． 

10．2.6 .                   11．4π      12．|PF₂|=17.

題  號

13

14

15

16

代  號

C

D

D

B

17．[解]

   故的最大值為最小值為.

18．[解]連結(jié)BD，因為B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD.

又因為直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以

∠B₁DB=30°，于是BB₁=BD=2.

故平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的體積為S_ABCD?BB₁=.

19．[解]x須滿足

所以函數(shù)的定義域為（－1，0）∪（0，1）.

因為函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有

，所以是奇函數(shù).

研究在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設(shè)x₁<x₂ ，則

得>0，即在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，

由于是奇函數(shù)，所以在（－1，0）內(nèi)單調(diào)遞減.

20．[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），  橢圓方程為.

（2）由橢圓方程，得

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.

[解二]由橢圓方程，得 于是

得以下同解一.

21．[解]（1）設(shè)得

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圓心（3，－1），半徑為.

設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x ,y）則

故所求圓的方程為(x－1)²+(y－3)²=10。

（3）設(shè)P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點，則

故當時，拋物線y=ax²－1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點.

22．[解]（1）

（2）歸納概括的結(jié)論為：

若數(shù)列是首項為a₁，公比為q的等比數(shù)列，則

（3）因為