立體幾何基礎(chǔ)題題庫（六）（有詳細答案）

251. 已知點P是正方形ABCD所在的平面外一點，PD面AC，PD=AD=，設(shè)點C到面PAB的距離為d1，點B到平面PAC的距離為d2，則（      ）

（A） <d1 <d2（B）d1< d2<（C）d1<< d2（D）d2<d1<

解析：，，故d2<d1<，選D。

252.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=（1）求MN的長；

（2）當為何值時，MN的長最��；  （3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

解析：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形�！郙N=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴,, 即,

∴

（2）由（1）知: ，

(3)取MN的中點G，連接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，

∴∠AGB即為二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有

。故所求二面角。

253. 如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為。點M在AC上，點N在BF上，若AM=FN ,(1)求證:MN//面BCE ; (2)求證:MNAB;  

(3)求MN的最小值.

解析：(1)如圖,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 連PN, GH , 易證MG//NH,且MG=NH, 故MGNH為平行四邊形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;

(2)易證AB面MNP, 故MNAB ;

(3)即為面ABCD與ABEF所成二面角的平面角,即,設(shè)AP=x , 則BP=a－x , ＮP=a－x ,　所以：

 ，

故當時，ＭＮ有最小值．

254.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=x ,BN=y, （1）求MN的長(用x,y表示)；（2）求MN長的最小值，該最小值是否是異面直線AC，BF之間的距離。

解析：在面ABCD中作MPAB于P，連PN，則MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=

，在中，MN=

；

（2）MN，故當，時，MN有最小值。且該最小值是異面直線AC，BF之間的距離。

255.已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，點P是DD1的中點，且截面EAC與底面ABCD成450角，AA1=2a，AB=a，（1）設(shè)Q是BB1上一點，且BQa，求證：DQ面EAC；（2）判斷BP與面EAC是否平行，并說明理由？（3）若點M在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運動，并且總保持AMBP，試確定動點M所在的位置。

解析：（1）證：首先易證ACDQ，再證EODQ（O為AC與BD的交點）在矩形BDD1B1中，可證EDO與BDQ都是直角三角形，由此易證EODQ，故DQ面EAC得證；

（2）若BP與面EAC平行，則可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中點，則E也應(yīng)是PD中點，但PD=DD1=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中點，因此BP與面EAC不平行；

（3）易知，BPAC，要使AMBP，則M一定在與BP垂直的平面上，取BB1中點N，易證BP面NAC，故M應(yīng)在線段NC上。

256.如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，，（1）證明： ；

（II）假定CD=2，，記面為α，面CBD為β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；

（III）當的值為多少時，能使？請給出證明.

 解析：（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于.，連結(jié)， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 可證，，

故，但AC⊥BD，所以，從而；　　　　　　　　　　　　

（II）解：由（I）知AC⊥BD，，是二面角α―BD―β的平面角，在中，BC=2，，，　　∵∠OCB=60°，，，故C1O=，即C1O=C1C，作，垂足為H，∴點H是.C的中點，且，所以;

（III）當時，能使

證明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱錐是正三棱錐.

257.設(shè)相交于G.，，且，所以如圖，已知正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長為a，求異面直線A1C1與BD1的距離.

解析：本題的關(guān)鍵是畫出A1C1與BD1的公垂線，連B1D1交A1C1于O，在平面BB1D1內(nèi)作OM⊥BD1，則OM就是A1C1與BD1的公垂線，問題得到解決.

解  連B1D1交A1C1于O，作OM⊥BD1于M.

∴  A1C1⊥B1D1，BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1＝B1.

∴  A1C1⊥平面BB1D1.  ∴  A1C1⊥OM，又OM⊥BD1.

∴  OM是異面直線A1C1與BD1的公垂線.

在直角ΔBB1D1中作B1N⊥BD1于N.

∵  BB1?B1D1＝B1N?BD1，a?a＝B1N?a，∴  B1N＝a,OM＝B1N＝a.

故異面直線A1C1與BD1的距離為a.

評析：作異面直線的公垂線一般是比較困難的，只有熟練地掌握線、線垂直，線、面垂直的關(guān)系后才能根據(jù)題目所給條件靈活作出.本題在求OM的長度時，主要運用中位線和面積的等量關(guān)系.

258.  已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分別是兩條異面直線l1和l2上的任意三點，M、N、R、T分別是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中點.求證：M、N、R、T四點共面.

證明  如圖，連結(jié)MN、NR，則MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直線上(否則，根據(jù)三線平行公理，知l1∥l2與條件矛盾).∴  MN、NR可確定平面β，連結(jié)B1C2，取其中點S.連RS、ST，則RS∥l2，又RN∥l2，∴  N、R、S三點共線.即有S∈β，又ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴  STβ.

∴  M、N、R、T四點共面. =2：1

又是正三角形的BD邊上的高和中線,∴點G是正三角形的中心.故，即。

證明二：由（I）知，，，

當時，平行六面體的六個面是全等的菱形.同的證法可得，　　又，所以。　

259. 如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有(    )

A.12對         B.24對                 C.36對          D.48對

解析：本題以六棱錐為依托，考查異面直線的概念及判斷，以及空間想象能力.

解法一：如圖，任何兩條側(cè)棱不成異面直線，任何兩條底面上的棱也不成異面直線，所以，每對異面直線必然其中一條是側(cè)棱而另一條為底面的棱，每條側(cè)棱，可以且只有與4條底面上的棱組成4對異面直線，又由共6條側(cè)棱，所以異面直線共6×4＝24對.

解法二：六棱錐的棱所在12條直線中，能成異面直線對的兩條直線，必定一條在底面的平面內(nèi)，另一條是側(cè)棱所在直線.底面棱所在直線共6條，側(cè)棱所在直線也有6條，各取一條配成一對，共6×6＝36對，因為，每條側(cè)棱所在的直線，與底面內(nèi)的6條直線有公共點的都是2條，所以，在36對中不成異面直線的共有6×2＝12對.所以，六棱錐棱所在的12條直線中，異面直線共有36-12＝24對.

260.  分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是(    )

A.平行        B.異面        C.平行或異面        D.相交或異面

解析：本題考查兩條直線的位置關(guān)系，異面直線的概念，以及空間想象能力.

解法一：設(shè)兩條異面直線分別為l1，l2，則與它們分別相交的兩條直線有可能相交，如圖1，也可能異面，如圖2，它們不可能平行，這是由于：假設(shè)這兩條直線平行，則它們確定一個平面α，兩條平行線與兩條異面直線l1與l2的四個交點均在α內(nèi)，則兩異面直線l1與l2也在α內(nèi)，這是不可能的.∴應(yīng)選D.

解法二：利用排除法，容易發(fā)現(xiàn)，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線可以是相交的位置關(guān)系，由于這點可以排除選擇選A、B、C.故選D.

261.  已知兩平面α，β相交于直線a，直線b在β內(nèi)與直線a相交于A點，直線c在平面α內(nèi)與直線a平行，請用反證法論證b,c為異面直線.

解析：這題規(guī)定用反證法，提出與結(jié)論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論.

證：用反證法.

假設(shè)b,c共面，則b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵  c∥a,  ∴  a∥b這與b∩a＝A的已知條件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵  bβ，∴  P∈β.

又∵  cα，∴  P∈α.  ∴  P∈α∩β而α∩β＝a.

∴  P∈a，這樣c,a有了公共點P，這與a∥c的已知條件矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立，所以b、c為異面直線.

說明  本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線的判定定理來證明.

262.  如圖，在棱長為a的正方體ABCD―A1B1C1D1中，異面直線AA1和的中點分別是E、F.

(1)證明EF是AA1與BD1的公垂線段；

(2)求異面直線AA1和BD1間的距離.

解析：(1)連接ED1、EB，

則顯然ED1＝EB＝a

又F為BD1之中點.

∴  EF⊥BD1；

連接FA1，F(xiàn)A.

∵  F為正方體的中心，

∴  FA＝FA1，又E為AA1之中點，

∴  EF⊥A1A.

故EF為AA1與BD1的公垂線段.

(2)在RtΔEFD1中

EF＝＝.

故AA1到BD1間的距離是.

評析：今后學(xué)習(xí)了線面的位置關(guān)系之后，可以利用“轉(zhuǎn)化”的思想求距離.

263.  如圖所示，正三棱錐S―ABC的側(cè)棱與底面的邊長相等，如果E、F分別為SC、AB的中點，求異面直線EF與SA所成的角.

解析：計算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的頂點在EF上.為此取SB之中點G，連GE、GF、BE、AE，由三角形中位線定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF與SA所成的角.若設(shè)此正三棱錐棱長為a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因為ΔEGF為等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF與SA所成的角為45°.

說明  異面直線所成角的求法：

利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上，通過證明所作的角就是所求的角或者補角，解三角形，可求.

264.  在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點，且滿足＝＝＝＝k.

(1)求證：M、N、P、Q共面.

(2)當對角線AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形時，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

解析：(1)∵  ＝＝k

∴  MQ∥BD，且＝

∴  ＝＝

∴  MQ＝BD

又  ＝＝k

∴  PN∥BD，且＝

∴  ＝＝從而NP＝BD

∴  MQ∥NP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點共面.

(2)∵  ＝，＝

∴  ＝＝,＝

∴  MN∥AC，又NP∥BD.

∴  MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.

∵  MNPQ是正方形，∴  ∠MNP＝90°

∴  AC與BD所成的角為90°，

又AC＝a，BD＝b，＝＝

∴  MN＝a

又  MQ＝b,且MQ＝MN，

b＝a，即k＝.

說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點.

265.已知：直線a和直線b是異面直線，直線c∥a，直線b與c不相交，求證：b、c是異面直線.

證：因為b,c不相交，b、c的位置關(guān)系有b∥c或b、c異面兩種可能.

假設(shè)b∥c,∵  c∥a,∴  a∥b，這與已知a,b是異面直線矛盾.

所以b與c不能平行，又b、c不相交

所以b,c是異面直線.

266.分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線，為什么?

證明：假設(shè)AC、BD不異面，則它們都在某個平面α內(nèi)，這時A、B、C、D四點都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，這與已知AB與CD異面矛盾，所以AC、BD一定是異面直線.

267.  如圖，ABCD―A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝，則BE1與DF1所成角的余弦值是(    )

A.                       B.                   C.                  D.

解析：過A點在平面ABB1A1內(nèi)作AF，使A1F＝D1F1，則ADF1F是平行四邊形，∴FA∥DF1，再過E1在平面ABB1A1內(nèi)作E1E∥FA，則∠BE1E即是BE1與DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝，ABCD―A1B1C1D1是正方體，∴  E1E＝A1B1，

又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.

∴  E1E＝A1B1，EB＝A1B1

在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝＝.

∴  應(yīng)選A.

268.  在棱長為1的正方體ABCD―A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是(    )

A.                 B.              C.                     D.

解析：由圖所示，AM與CN是異面直線，過N作平行于AM的平行線NP，交AB于P，由定義可知∠PNC就是AM與CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆為直角三角形，且BP＝，BN＝，BC＝1，故PN2＝()2+()2＝，CN2＝()2+12＝，PC2＝()2+12＝，在ΔPCN中cos∠PNC＝，所以cos∠PNC＝，因此應(yīng)選D.

269.  已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有(    )

A.1條        B.2條        C.3條        D.4條

解析： 過P點分別作直線a′∥a,b′∥b,則a′與b′的夾角為50°，由異面直線所成的角的定義可知，過P點與a′,b′成30°角的條數(shù)，就是所求的條數(shù).

畫圖可知，過P點與a′、b′成30°角的直線只有兩條.

∴  應(yīng)選B.

270. .若a、b為異面直線，P為空間一點，過P且與a、b所成角均為的直線有(    )

A.二條                                              B.二條或三條

C.二條或四條                                   D.二條、三條或四條

解析：D

271. 已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點.

求證：①對角線AC、BD是異面直線，

②EF和HG必交于一點，且交點在AC上.

解析：①提示：用反證法，或者用判定定理.

②提示：先證EH∥FG，EH＜FG，設(shè)FE∩GH＝0

又  0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.

∴O在平面ADC和平面ABC的交線AC上.

272.如果直線a垂直于直線b，那么直線a與平行于直線b的任意一條直線b′互相垂直

解析：在a上任取一點A，過A作b1∥b，則a與b1垂直.

∵b∥b′，b∥b1  ∴b1∥b′

∴直線a與b1和a與b′所成的角相等.

∴a⊥b′

273. 在一塊長方形木塊的面上有一點P，木匠師傅要用鋸子從P和CD將木塊分成兩塊，問怎樣畫線.

解析：過P作C1D1的平行線EF，連DE、CF.

274.異面直線l1、l2，它們之間的距離為1，所成角是，它們的公垂線是AB，A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE＝BF＝1，求EF的長.

解析：如圖，用異面直線l1、l2作為長方體的上、下底面的對角線，公垂線AB為高.

①EF的長即是正方形PEE′F的對角線長，為.

②側(cè)面的對角線，用勾股定理得＝2，即為所求.

275.試證：兩兩相交且不全過同一點的四條直線共面.

解析：(1)設(shè)a、b、c、d四條直線兩兩相交，且不過同一點，并且無三線共點.

記  a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,

∵  a∩b＝A,∴  a、b確定平面α.

∴  B∈b,C∈a.  ∴  B、C∈α.

∴  BCα，即cα，同理dα

從而  a、b、c、d共面

(2)若有三線共點，不妨設(shè)b、c、d相交于A，

a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.

∴  a與A可確定平面α.

∵  B∈a.  ∴B∈α，于是bα.

同理，cα，dα.

從而a、b、c、d共面.

276. 正方體的兩條體對角線所夾角的正弦值為______________。

解析：易知故兩條體對角線相交，設(shè)交點為O（如圖），則即為所成的角。

　　設(shè)正方體棱長為1，則

　　，所以，而，故

　　，即，

277.長方體中，則所成角的大小為______________。

解析：如圖所示，將平移到，則在中

278. 根據(jù)敘述作圖，指出二面角-l-的平面角，并證明．

　　（1）已知∩=l，A∈l（圖9-39）．在內(nèi)作PA⊥l于A，在內(nèi)作QA⊥l于A．

圖9-39

　�。�2）已知∩=l，A∈，（圖9-40）．作AP⊥于P，在內(nèi)作AQ⊥l于Q，連結(jié)PQ．

圖9-40

　　（3）已知∩=l，，（圖9-41）．作AP⊥于P，AQ⊥于Q，l∩平面PAQ=H，連結(jié)PH、QH．

解析：（1）PA，QA，PA⊥l，QA⊥l，∴　∠PAQ為二面角的平面角．

　　�。�2）∵　AP⊥，∴　PQ為AQ在平面內(nèi)的射影，∵　AQ⊥l，根據(jù)三垂線定理，有PQ⊥l，∴　∠AQP為二面角的平面角（如圖答9-35）．

　　�。�3）∵　AP⊥，∴　AP⊥l，∵　AQ⊥，∴　AQ⊥l，∴　l⊥平面PAQ，∵　PH?QH平面PAQ，∴　l⊥PH，l⊥QH，∴　∠PHQ為二面角的平面角（如圖答9-36）．

279. 如圖9-42，立體圖形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并說明理由．

解析：取CD中點E，連結(jié)AE、BE，∵　AC=AD，∴　AE⊥CD．∵　BC=BD，∴　BE⊥CD，∴　∠AEB為二面角A-CD-B的平面角．

280. 若二面角-l-的一個半平面上有一個點A，點A到棱l的距離是它到另一個平面的距離的2倍，則這個二面角的大小為（�。�．

　　A．90°　　　　　 B．60°　　　　　C．45°　　　　　D．30°

解析：D．作AH⊥交于H，作HB⊥l于B，連結(jié)AB，由三垂線定理，HB⊥l，∴　∠ABH為二面角-l-的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴　∠ABH=30°．

281. 下列命題中正確的是（�。�．

　　A．平面和分別過兩條互相垂直的直線，則⊥

　　B．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線，則⊥

　　C．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則⊥

　　D．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則⊥

解析：C．內(nèi)的直線l垂直內(nèi)的相交直線a、b，則l⊥．∵　l，∴　⊥．

282. 設(shè)兩個平面互相垂直，則（�。�．

　　A．一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個平面

　　B．過交線上一點垂直于一個平面的直線必在另一個平面上

　　C．過交線上一點垂直于交線的直線，必垂直于另一個平面

　　D．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線互相垂直

解析：B．如圖答9-38，在正方體中，平面⊥平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正確．點D在交線AD上，，但不垂直平面ABCD，故C不正確．平面，AC平面ABCD，但與AC不垂直，故D不正確．

 283. 如圖9-43，∠AOB是二面角-CD-的平面角，AE是△AOB的OB邊上的高，回答下列問題，并說明理由：

　�。�1）CD與平面AOB垂直嗎?

　　（2）平面AOB與、垂直嗎?

　　（3）AE與平面垂直嗎?

解析：（1）∵　∠AOB是二面角-CD-的平面角，∴　OB⊥CD，OA⊥CD，∴　CD⊥平面AOB．

　　�。�2）∵　CD⊥平面AOB，CD，∴　⊥平面AOB．同理⊥平面AOB．

　　�。�3）∵　CD⊥平面AOB，∵　AE平面AOB，∴　CO⊥AE，又∵　AE⊥OB，CD∩OB=O，∴　AE⊥平面BCD，即AE⊥．

284. 如圖9-44，以等腰直角三角形的斜邊BC上的高AD為折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的兩個面．求證：BD⊥CD，∠BAC=60°．

圖9-44

解析：∵　AD是等腰△ABC底邊BC上的高線，∴　AD⊥BD，AD⊥DC，∴　∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵　平面ABD⊥平面ACD，∴　∠BDC=90°，即BD⊥DC．連結(jié)BC，設(shè)AD=a，則BD=DC=AD=a，，，，∴　△ABC是正三角形，∴　∠BAC=60°

285. 直線a、b是異面直線，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求證：α⊥β.

證明  過b上任意一點作直線a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.

設(shè)相交直線a′、b確定一個平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面內(nèi)，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α

286. 在三棱錐S―ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求證：平面ASC⊥平面ABC.

證明  取AC的中點O，連SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S―AC―B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO＝BO＝a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另證：過S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面內(nèi)的射影是ΔABC的外心，同前面的證明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜邊AC上.又∵平面SAC經(jīng)過SO，∴平面SAC⊥平面ABC

說明  證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是90°，或利用判定定理證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線.

287.  如圖，四面體ABCD的棱BD長為2，其余各棱的長均是，求：二面角A―BD―C、A―BC―D、B―AC―D的大小.

解析：(1)取BD的中點O，連AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥