上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研

                 數(shù)學(xué)試卷 （文科）                 2009.04

說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

 

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個(gè)空格填對得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分.

1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則           . 

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2. 不等式的解集為            .

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3. 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若的圖像過點(diǎn)，則           .

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4. 用金屬薄板制作一個(gè)直徑為米，長為3米的圓柱形通風(fēng)管.若不計(jì)損耗，則需要原材料

             平方米（保留3位小數(shù)）.

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5. 關(guān)于x、y的二元線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過變換，最后得到的矩陣為，則          .

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6. 設(shè)、是平面內(nèi)一組基向量，且、，則向量可以表示為另一組基向量、的線性組合，即                .

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7. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出的結(jié)果所表示的分段函數(shù)為                 .

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8. 已知非負(fù)實(shí)數(shù)、滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)的最大值為           .

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9. 正方體骰子六個(gè)表面分別刻有的點(diǎn)數(shù). 現(xiàn)同時(shí)擲了兩枚骰子，則得到的點(diǎn)數(shù)之和大于10的概率為           .

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10. 設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線與（，）的個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，聯(lián)結(jié)其個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為，則的最大值為            .

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11. 將函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為           .

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12. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯(cuò)或選出的代號超過一個(gè)（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.

13. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程的一個(gè)法向量的是 （    ）

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   A． ；    B. ；    C. ;     D. .

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14. 若，（、），則                 （    ）

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   A. ；            B. ;            C. ;              D. .

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15.  在△ABC中，“”是“△ABC為鈍角三角形”的              （    ）

   A．必要非充分條件； B．充分非必要條件； C．充要條件；   D．既非充分又非必要條件.

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16. 現(xiàn)有兩個(gè)命題：

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（1）     若，且不等式恒成立，則的取值范圍是集合；

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（2）     若函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是集合；

則以下集合關(guān)系正確的是                                                   （    ）

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A． ；       B. ；       C. ；      D.  .

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三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.

17. （本題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，. 對任意，向量、都滿足，求.                         

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18. （本題滿分14分）已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，試用列舉法表示滿足條件的的取值集合.

 

 

 

 

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19.（本題滿分14分）如圖，圓錐體是由直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得，.設(shè)點(diǎn)為圓錐體底面圓周上一點(diǎn)，，且的面積為3. 求該圓錐體的體積.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

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某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是矩形，其中米，米.上部是個(gè)半圓，固定點(diǎn)為的中點(diǎn).是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和平行的伸縮橫桿（和不重合）.

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（1）當(dāng)和之間的距離為1米時(shí)，求此時(shí)三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積；

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（2）設(shè)與之間的距離為米，試將三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；

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（3）當(dāng)與之間的距離為多少米時(shí)，三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

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21. （本題滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

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已知等軸雙曲線（）的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn). 過作一條漸近線的垂線且垂足為，．

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（1）求等軸雙曲線的方程；

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（2）假設(shè)過點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，求的值；

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（3）假設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù).若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

 

 

 

上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

 

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

 

…2

 

 

…4

 

…8

 

 

…12

17.（文，滿分12分）

解：因?yàn)?sub>，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

 

 

 

…4

 

…6

 

 

…8

 

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因?yàn)?sub>

所以，

即或，

或，

又由，即

當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或.

所以，集合.

 

 

 

…3

 

 

…7

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當(dāng)時(shí)，

 

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法

（i）當(dāng)時(shí)，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，其中為奇數(shù)；

則當(dāng)時(shí)，

         

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因?yàn)?sub>

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，

因?yàn)槠渲?sub>中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項(xiàng)均為奇數(shù).

 

 

…3

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

…8

 

 

 

 

…10

 

 

 

…14

 

…15

 

 

 

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

…14

 

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

 

 

 

 

…3

 

 

 

…8

 

…10

 

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當(dāng)和之間的距離為1米時(shí)，應(yīng)位于上方，

且此時(shí)中邊上的高為0.5米.

又因?yàn)?sub>米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

的面積；

2如圖（2）所示，當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

，故可得的面積

 

；

綜合可得：

（3）1當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則有；

2當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，

，

等號成立，.

因而當(dāng)（米）時(shí)，每個(gè)三角通風(fēng)窗得到最大通風(fēng)面積，最大面積為（平方米）.

 

 

 

 

…2

 

 

 

 

…4

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

 

…12

 

 

 

 

 

 

…15

 

 

 

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

因?yàn)殡p曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)?sub>，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

   ①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).

 ②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

 

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

…5

 

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

 

 

…13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…16

 

 

…17

 

…18

 

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因?yàn)?sub>，又平面，

所以平面，則有.

    因?yàn)?sub>，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與

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