江蘇省通州市2009年高三查漏補缺專項檢測

數學試卷

（考試時間：120分鐘    滿分160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．函數的定義域為           .

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2．已知復數與均為純虛數，則等于               ．

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3．已知向量，向量滿足∥，且，則=               。

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4．在等比數列{an}中，已知a4＋a10=10，且，則=          ．

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5．已知命題：“，使x2+2x+a≥0”為真命題，則a的取值

范圍是              ．

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6．如圖，程序執(zhí)行后輸出的結果為             ．   

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7．下列命題正確的序號是_____       ．

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（其中l，m表示直線，表示平面） 

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(1)若；      (2)若；

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(3)若；             (4)若

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8． 用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右圖所示，

則它的體積的最大值與最小值之差為　　　 　　　　．

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9．已知，則當mn取得最小值時，橢圓的離心率為                ．

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10．對任意兩個集合A、B，定義：，，設，，則                 

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11．若，且當時，恒有，則以,b為坐標點 所形成的平面區(qū)域的面積等于                 ．

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12．已知兩個不共線的向量，的夾角為，且.若點M在直線OB上，且的最小值為，則的值為           ．

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13．設函數，若時，恒成立，則實數的取值范圍是           _                .

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14．f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負可導函數，且滿足，對任意正數a、b，若a＜b，則的大小關系為                ．

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二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（本題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

   （1）判斷△ABC的形狀；

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   （2）若的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本題滿分14分）一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側棱PD的中點.

（1）求證：PB//平面AEC；  

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（2）若F為側棱PA上的一點，且， 則為何值時，PA平面BDF？ 并求此時幾何體F―BDC的體積．

試題詳情

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    B
    B
    

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    17．（本題滿分15分）已知圓A：與軸負半軸交于B點，過B的弦BE與軸正半軸交于D點，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點且過D點的橢圓．
    （1）求橢圓的方程；
    （2）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值． 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

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    18．（本題滿分15分）
    如圖所示，一條直角走廊寬為2米�，F有一轉動靈活的平板車，其平板面為矩形ABEF，它的寬為1米。直線EF分別交直線AC、BC于M、N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；
    

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    ⑴若平板車卡在直角走廊內，且∠，試求平板面的長(用表示)；
    

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    ⑵若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19．（本題滿分16分）已知數列的前n項和為，點在直線上．數列滿足： ，且，前9項和為153．
    

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    （1）求數列，的通項公式；
    

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    （2）設，數列的前n項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值；
    

    試題詳情
    

    （3）設*，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．（本題滿分16分）函數．
       （1）試求f(x)的單調區(qū)間；
       （2）當a>0時，求證：函數f(x)的圖像存在唯一零點的充要條件是a=1；
    

    試題詳情
    

    （3）求證：不等式對于恒成立．
     
     
     
     
     
     
     
    數學附加題
    考試時間：30分鐘    滿分40分
     
分．每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算過程．
    

    試題詳情
    

    一、選答題：本大題共4小題，請從這4題中選做2小題．如果多做，則按所做的前兩題記
    1.(選修4一l：幾何證明選講)
    

    試題詳情
    

    如圖，圓O的直徑,C為圓周上一點，,過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E。求的度數與線段AE的長。
    

    試題詳情
    

    2.(選修4―2：矩陣與變換)
    

    試題詳情
    

    已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A．
    

    試題詳情
    

    3.(選修4―4：坐標系與參數方程)
    

    試題詳情
    

    已知直線和參數方程為 ,是橢圓上任意一點，求點到直線的距離的最大值．
    

    試題詳情
    

    4.(選修4―5：不等式選講)
    

    試題詳情
    

       已知f(x)＝定義在區(qū)間[－1，1]上,設x1，x2∈[－1，1]且x1≠x2．
    

    試題詳情
    

    (1)求證: | f(x1)－f(x2)|≤| x1－x2| (2)若a2＋b2＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．
    選做題一：
     
     
     
     
     
     
     
    選做題二：
     
     
     
    

    試題詳情
    

    二、必答題：本大題共2小題。每小題10分，共20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算過程．
    5. 將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．設復數(i是虛數單位)。
    

    試題詳情
    

    （1）求事件“為實數”的概率；
    

    試題詳情
    

    （2）求事件“”的概率。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    6. 如圖，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.
    

    試題詳情
    

    （1）求與平面A1C1CA所成角的正切值；
    (2) 求二面角B―A1D―A的平面角的正切值；
    （3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A1BD？
     
    

    試題詳情
    

    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
    1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a≥-8     6．64       7．（1）(3)(4)  8．6    9． 　 10．  11．1　     12．   13．(－∞，1)
    14．，提示：設，則，故為增函數，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x2
    二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
    15．（1）                      
                                              5分
    即
                                                      
    為等腰三角形.                                             8分
    （2）由（I）知
                            12分
                                                              
14分
    16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，
    錐體高度為1。
    設AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，
    OE//PB，                                            
3分
    EO面EAC，PB面EAC內，PB//面AEC。     
    6分
    （2）過O作OFPA垂足為F ,  
    在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分
    過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                       
          10分
    在等腰三角形PAB中解得AF=,進而得PF=               

    即當時，PA面BDF，                      
12分
    此時F到平面BDC的距離FH=
                14分
    17．(1)                    
4分
    橢圓方程為     
                          7分
    （2）        
10分
    ＝2       14分
    所以P在DB延長線與橢圓交點處，Q在PA延長線與圓的交點處，得到最大值為．  15分
    18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，                         
4分
    =EF=DM+DN-MF-EN=+－－
    =       （）                                       
7分
    （2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度；記 ，有=，
    ===，                                           
10分
    此后研究函數的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導，以確定函數在上的單調性；當時取得最小值。                   
15分
    19． (1)點(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，
    an＝n＋5．                                   
                                 3分
    ∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nÎN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．
    ∴數列{bn}是等差數列，∵b3＝11，它的前9項和為153，設公差為d，
    則b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．                 
6分
    (2)由(1)得，cn＝ ＝ ＝(－)，
    ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
    ＝(1－)．                                                          
9分
    ∵Tn＝(1－)在nÎN*上是單調遞增的，∴Tn的最小值為T1＝．
    ∵不等式Tn＞對一切nÎN*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數k的值為18．11分
    (3) nÎN*，f(n)＝＝
    當m為奇數時，m＋15為偶數；當m為偶數時，m＋15為奇數．
    若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數)
    或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數)．                                     
13分
    解得m＝11．所以當m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)．                            
16分
    20．（1）．                                      
2分
      　當時，，在上單調遞增；                    
3分
     　 當時，時，，在上單調遞減；         

    時，，在上單調遞增．                
5分
    綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．                                        
6分
    （2）充分性：a=1時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
    即。而在上單調遞減，在上單調遞增，
    在上由唯一的一個零點x=1．                  
            9分
    必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．
    令，．
    當時，，在上單調遞增；當a>1時，，
    在上單調遞減。，=0只有唯一解a=1．
    =0在上有唯一解時必有a=1．                           12分
    綜上：在a>0時，=0在上有唯一解的充要條件是a=1．
    （3）證明：∵1<x<2,∴.
     令，∴，14分
    由（1）知，當a=1時，，∴，∴．
    ∴，∴F（x）在（1，2）上單調遞增，∴，
    ∴�！�．            
16分
     
    附加題答案
    1．解：如圖，連結OC，因,因此,由于,
    所以，又得;      5分    
    又因為,得,那么,
    從而，于是。           
10分    
    2．解：設A=，由題知=，=3  
    即，                      5分
     ∴         ∴A=       10分
    3．解： 直線的參數方程為 為參數）故直線的普通方程為  3分
       因為為橢圓上任意點，故可設其中.
      因此點到直線的距離是           
7分
    所以當，時，取得最大值.                             
10分  
    4. 證（1）　
    ∵，，
    ∴| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|      
                5分    
    （2），∴f(a)＋f(b) ≤
    ∵    ，
    ∴             
       10分 
     5.解：（1）為實數，即為實數，  ∴b＝3            2分
    又依題意，b可取1，2，3，4，5，6
    故出現b＝3的概率為
    即事件“為實數”的概率為                  
                         5分
    （2）由已知，    
                      6分
    可知，b的值只能取1、2、3                          

    當b＝1時， ，即a可取1，2，3
    當b＝2時， ，即a可取1，2，3
    當b＝3時， ，即a可取2                

    由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立                           9分
    又a，b的取值情況共有36種
    故事件“”的概率為                      
                    10分
    6.解：（1）∵A1B1C1－ABC為直三棱柱  ∴CC1⊥底面ABC  ∴CC1⊥BC
           ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A1C1CA
    ∴A1B與平面A1C1CA所成角的正切值              
3分
    （2）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M，連結BM
    ∵BC⊥平面ACC­1A1   ∴CM為BM在平面A1C1CA的內射影
    ∴BM⊥A1G    ∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角
        平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點
    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  
       ,  
    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為     6分
    （3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A1BD .
    其位置為AC中點，證明如下：
    ∵A1B1C1―ABC為直三棱柱 ， ∴B1C1//BC
    ∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA
    ∵EF在平面A1C1CA內的射影為C1F ，F為AC中點 ∴C1F⊥A1D  ∴EF⊥A1D
    同理可證EF⊥BD,        
∴EF⊥平面A1BD
    ∵E為定點，平面A1BD為定平面,點F唯一           
10分
    解法二：（1）同解法一                              
3分
    （2）∵A1B1C1―ABC為直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C1C、B1C1的中點, 建立如圖所示的坐標系得
    C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）
    C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A­1（0，2，2）
    D（0，0，1）  E（1，0，2）
      設平面A1BD的法向量為
      
    平面ACC1A1­的法向量為=（1，0，0）  
    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為               6分
    （3）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD 
    欲使EF⊥平面A1BD    由（2）知，當且僅當// 
        
    ∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點        10分
     
     
    
				
	
    
		
    


    同步練習冊答案