安徽省巢湖市2009年高三第二次教學質量檢測

數學（理科）試題

 

命題人：   廬江二中   孫大志      柘皋中學   孫  平       巢湖四中   胡善俊

 

參考公式：

1.球的表面積公式，其中表示球的半徑.

2.球的體積公式，其中表示球的半徑.

3.柱體的體積公式 ，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.

4.錐體的體積公式 ，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.

5. 線性回歸方程中的的計算公式.

 

    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

1.設集合，則為                                                                    

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A.       B.     C.     D.

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2. 等差數列的前項和為，若 ，則                             

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

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3. 函數的最小正周期為，且其圖像向右平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數的圖象                        

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A．關于點對稱                 B．關于直線對稱

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C．關于點對稱                D．關于直線對稱

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4．  已知為直線，為平面，則下列命題中真命題的是

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A.            B. 若，則   

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C.            D.

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5．已知雙曲線以坐標原點為頂點，以曲線的頂點為焦點的拋物線與曲線漸近線的一個交點坐標為（4，4），則雙曲線的離心率為                

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A.               .              C.               D.  

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6. 下列結論：

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 ①是周期為的必要條件；

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    ②；

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    ③“，使得”是假命題,則；

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④某校在巢湖市第一次教學質量檢測中的數學成績服從正態(tài)分布，則.

其中正確的是                                                         

A. ②③        B.③④        C. ①②③        D. ①②③④

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7．已知向量，則的最小值為

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A. 1           B.          C.      D.

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8. 某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤分別為2、4、4、6（單位：萬元），用線性回歸分析估計該廠五月份的利潤為                                       

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       A．6.5萬元                B．7萬元                C．7.5萬元              D． 8萬元

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9. 下圖是把二進制的數化成十進制數的一個程序框圖，則判斷框內應填入的條件是                                                               

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A.    B.   　　C.    　　D.

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10.關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為   

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A          B.         C.           D.

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11.已知集合，集合，若向區(qū)域內投一點,則點落在區(qū)域內的概率為                    

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A.            B.            C.              D.

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12. 已知函數的定義域為導函數為，則滿足的實數的取值范圍為         

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A.   B.   C.   D.

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.

13.已知直線的極坐標方程為，圓的參數方程為，若以原點為極點，軸非負半軸為極軸，則直線被圓截得的弦長為                 .

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14. 如圖是甲乙兩同學在高三的5次月考成績的莖葉圖，         甲        乙

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根據莖葉圖對甲乙兩人的考試成績作比較，請你寫出               5   7

兩個統(tǒng)計結論：                                         8  6  1   8   0  2  6  7

①                                                   ；        5   9   0

②                                                .

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15. 二項式展開式中，前三項系數依次組成等差數列，則展開式中的常數項等于_              _.

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16.一個球的表面積為，則它的內接圓柱的體積的最大值是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17. （本小題滿分12分）

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已知向量，設

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（Ⅰ）求函數 在上的零點；

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（Ⅱ）設的內角的對邊分別為，已知 ，求邊的值．

 

 

 

 

 

 

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        （Ⅰ）求三棱錐A-PDC的體積；
        （Ⅱ）試在PB上求點M，使得CM∥平面PDA；
        

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        (Ⅲ) 
在BC邊上是否存在點Q，使得二面角A-PD-Q為？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
         
         
         
        

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        19. （本小題滿分12分）
           
某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎. 抽獎規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎.
        

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         （Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說：我只知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎者獲獎的概率；
        

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        （Ⅱ）現有甲乙丙丁四人依次抽獎，抽后放回，另一人再抽.用表示獲獎的人數.求的分布列及．
         
         
         
        

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        20. （本小題滿分12分）
        

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              圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標準方程為.圓的很多優(yōu)美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：
        

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        已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標原點)的斜率都存在，則.
        這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.
        （Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；
        （Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：
        

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        ①    
過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；
        

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        ②    
過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.
         
         
         
         
         
        

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        21.（本小題滿分12分）
        

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        已知函數.
        

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        （Ⅰ）若在處取得極值,求函數的單調區(qū)間；
        

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          （Ⅱ）求函數在區(qū)間的最大值.
         
         
         
         
        

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        22. （本小題滿分14分）
        

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        已知數列滿足, .
        

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        （Ⅰ）若，證明數列為等比數列,并求數列的通項公式；
        

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        （Ⅱ）若，是否存在實數，使得對一切恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由；
        

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        （Ⅲ）當時，證明.
         
        巢湖市2009屆高三第二次教學質量檢測
        

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        一、 A C C D A  B D B A
C    D C
        二、13.   14. ①甲乙的平均數相同，均為85；② 甲乙的中位數相同，均為86；       ③乙的成績較穩(wěn)定，甲的成績波動性較大；……       15.       16. 
        三、17（Ⅰ）
                   
=
                   
=
        由得，或
        由得 或.
        故函數的零點為和.       ……………………………………6分
        （Ⅱ）由，得 
        由得 .又
        由得  
                
，  
                         
……………………………………12分
        18. 由三視圖可知：，底面ABCD為直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2
                            
       …………3分
        (Ⅱ) 當M為PB的中點時CM∥平面PDA.
        取PB中點N,連結MN，DN，可證MN∥DN且MN＝DN
        ∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA                              
 …………6分
         (Ⅲ)分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.
        假設在BC邊上存在點Q，使得二面角A-PD-Q為   
        ∴
         
        同理，，可得
        =，
        解得………………………………………12分
        19. （Ⅰ）設“世博會會徽”卡有張，由,得=6.
         故“海寶”卡有4張. 抽獎者獲獎的概率為.                
…………6分
        （Ⅱ），    的分布列為 
        或
           
        1
        2
        3
        4
         
        p
                                                                    
            ………………………………12分
        20. （Ⅰ）證明 設
        相減得   
        注意到   
        有        

        即              
         …………………………………………5分
        （Ⅱ）①設 
        由垂徑定理，
        即        
        化簡得   
        當與軸平行時，的坐標也滿足方程.
        故所求的中點的軌跡的方程為；
        …………………………………………8分
        ②    
假設過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則
                 

        由于  
        直線，即，代入曲線的方程得
                 即    
                
由  得.
        故當時，存在這樣的直線，其直線方程為；
        當時，這樣的直線不存在.        ………………………………12分
        21. （Ⅰ）
        由得                   …………………………3分      
        　　　
        當時，當時，
        故函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.   ………………………5分
        （Ⅱ）由（Ⅰ）
        由得  
        當時，當時，
        在處取得極大值, 
        ……………………………………7分
        （1）      
當時，函數在區(qū)間為遞減 ，
        （2）    
當時， ，
        （3）      
當時，函數在區(qū)間為遞增 ，
                                          
                                                 
………………………………………12分
        22. （Ⅰ）
                 

                     
…………………………………6分
        （Ⅱ）解法1：由，得
        猜想時，一切時恒成立.
        ①當時，成立.
        ②設時，，則由
        得=
        *時，
        由①②知時，對一切，有.   ………………………………10分
        解法2：假設
        記，可求
        故存在，使恒成立.           
…………………………………10分
        （Ⅲ）證法1：
        ，由（Ⅱ）知
                                            
…………………………………14分
        證法2：
        猜想.數學歸納法證明
        ①當時，成立
        ②假設當時，成立
        由①②對，成立，下同證法1。
                                             
      …………………………………14分
         
         
         
         
         
        
				
	
        
		
        


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