2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)三十三

難點33  函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用

函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把高中的極限知識與大學(xué)知識緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.本節(jié)內(nèi)容重點闡述這一塊知識的知識結(jié)構(gòu)體系.

●難點磁場

(★★★★)已知函數(shù)f(x)=

(1)討論f(x)在點x=－1,0,1處的連續(xù)性；

(2)求f(x)的連續(xù)區(qū)間.

●案例探究

［例1］已知函數(shù)f(x)=,

(1)求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖象；

(2)求f(x)的不連續(xù)點x₀;

(3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續(xù)函數(shù).

命題意圖：函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖象上有最直觀的反映.因而畫函數(shù)圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法.

知識依托：本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點是能準(zhǔn)確畫出它的圖象.

錯解分析：第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學(xué)連續(xù)函數(shù)定義的了解.應(yīng)明確知道第(3)問是求的分?jǐn)?shù)函數(shù)解析式.

技巧與方法：對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進(jìn)行解答.

解：(1)當(dāng)x+2≠0時，有x≠－2

因此，函數(shù)的定義域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)

當(dāng)x≠－2時，f(x)= =x－2,

其圖象如上圖

(2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點是x₀=－2.

(3)因為當(dāng)x≠－2時，f(x)=x－2,所以=－4.

因此，將f(x)的表達(dá)式改寫為f(x)=

則函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù).

［例2］求證：方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一個正根，且它不大于a+b.

命題意圖：要判定方程f(x)=0是否有實根.即判定對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖象是否與x軸有交點，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可.本題主要考查這種解題方法.

知識依托：解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正.

錯解分析：因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用.

證明：設(shè)f(x)=asinx+b－x,

則f(0)=b＞0,f(a+b)=a?sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,

又f(x)在(0,a+b］內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個x₀∈(0,a+b］，使f(x₀)=0,即x₀是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a?sinx+b的根.

因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+b.

●錦囊妙計

1.深刻理解函數(shù)f(x)在x₀處連續(xù)的概念：

等式f(x)=f(x₀)的涵義是：(1)f(x₀)在x=x₀處有定義，即f(x₀)存在；(2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x₀附近有定義；(3)f(x)在點x₀處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即f(x)=f(x₀).

函數(shù)f(x)在x₀處連續(xù)，反映在圖象上是f(x)的圖象在點x=x₀處是不間斷的.

2.函數(shù)f(x)在點x₀不連續(xù)，就是f(x)的圖象在點x=x₀處是間斷的.

其情形：(1)f(x)存在；f(x₀)存在，但f(x)≠f(x₀);(2)f(x)存在，但f(x₀)不存在.(3) f(x)不存在.

3.由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點x₀是定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求x→x₀時函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點x₀處的函數(shù)值f(x₀)就可以了，即f(x)=f(x₀).

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：(1)f(x)=3, f(x)=－1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續(xù)，

但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續(xù)，左不連續(xù)

f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù).

又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù).

(2)f(x)中，區(qū)間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點x=±1外，再也無不連續(xù)點，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：

答案：A

2.解析：

即f(x)在x=1點不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù).

答案：C

二、3.解析：利用函數(shù)的連續(xù)性，即,

答案：

答案：

三、5.解：f(x)=

(1) f(x)=－1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù).

(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)，所以f(x)在［

－1，0］上是不連續(xù)函數(shù)，在［0,1］上是連續(xù)函數(shù).

6.解：(1)f(－x)=

(2)要使f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)，f(x)

= =

f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續(xù)，只要 f(x)= f(x)

= f(x)=f(0),所以a=

7.證明：設(shè)f(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃,函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)連續(xù)，且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,?+∞),使f(a)?f(b)＜0,所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根.

8.解：不連續(xù)點是x=1,連續(xù)區(qū)間是(－∞,1),(1,+∞)