2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)一

難點(diǎn)1  集合思想及應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x²+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

●案例探究

［例1］設(shè)A={(x,y)|y²－x－1=0},B={(x,y)|4x²+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結(jié)論.

命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.屬★★★★★級題目.

知識依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了.

錯解分析：此題難點(diǎn)在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手.

技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進(jìn)而可得值.

解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=

∵  ∴k²x²+(2bk－1)x+b²－1=0

∵A∩C=

∴Δ₁=(2bk－1)²－4k²(b²－1)<0

∴4k²－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b²－16>0,即b²>1                          ①

∵

∴4x²+(2－2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C=,∴Δ₂=(1－k)²－4(5－2b)<0

∴k²－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<2.5                      ②

由①②及b∈N,得b=2代入由Δ₁<0和Δ₂<0組成的不等式組，得

∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.

［例2］向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握.本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.

錯解分析：本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.

設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x.

依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.

所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

●錦囊妙計(jì)

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題.

2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時應(yīng)分類討論.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

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二、填空題

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三、解答題

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難點(diǎn)磁場

解：由得x²+(m－1)x+1=0                                                   ①

∵A∩B≠

∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個實(shí)數(shù)解.

首先，由Δ=(m－1)²－4≥0,得m≥3或m≤－1,當(dāng)m≥3時，由x₁+x₂=－(m－1)＜0及x₁x₂=1>0知，方程①只有負(fù)根，不符合要求.

當(dāng)m≤－1時，由x₁+x₂=－(m－1)>0及x₁x₂=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內(nèi).

故所求m的取值范圍是m≤－1.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=

nπ+,n∈Z},對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,

∴即2＜m≤4.

答案：D

二、3.a=0或a≥

4.解析：由A∩B只有1個交點(diǎn)知，圓x²+y²=1與直線=1相切，則1=,即ab=.

答案：ab=

三、5.解：log₂(x²－5x+8)=1,由此得x²－5x+8=2，∴B={2,3}.由x²+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關(guān)于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,

∴3是關(guān)于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

當(dāng)a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=－2時，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.

6.解：(1)正確.在等差數(shù)列{a_n}中，S_n=,則(a₁+a_n),這表明點(diǎn)(a_n,）的坐標(biāo)適合方程y(x+a₁),于是點(diǎn)(a_n, )均在直線y=x+a₁上.

(2)正確.設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，當(dāng)a₁=0時，方程(^*)無解，此時A∩B=；當(dāng)a₁≠0時，方程(^*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.

∴A∩B至多有一個元素.

(3）不正確.取a₁=1,d=1,對一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a₁=1≠0.如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,這樣的(x₀,y₀）A,產(chǎn)生矛盾，故a₁=1,d=1時A∩B=，所以a₁≠0時，一定有A∩B≠是不正確的.

7.解：由w=zi+b得z=,

∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡得|w－(b+i)|≤1.

∴集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個圓面，集合A表示以點(diǎn)(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(diǎn)(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.

又A∩B=B，即BA，∴兩圓內(nèi)含.

因此≤2－1,即(b－2)²≤0，∴b=2.

8.(1)證明：設(shè)x₀是集合A中的任一元素，即有x₀∈A.

∵A={x|x=f(x)},∴x₀=f(x₀).

即有f［f(x₀)］=f(x₀)=x₀,∴x₀∈B,故AB.

(2)證明：∵A={－1,3}={x|x²+px+q=x},

∴方程x²+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得

∴f(x)=x²－x－3.

于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x²－x－3)²－(x²－x－3)－3=x(^*)的根.

將方程(^*)變形，得(x²－x－3）²－x²=0

解得x=1,3,,－.

故B={－，－1，，3}.