《空間向量與立體幾何》

一、填空題

1.如圖所示,       .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

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2.【江蘇?揚州】4.長方體中,,則與平面

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所成的角的大小為   ★   

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3.【江蘇?蘇北四市】10.給出下列關(guān)于互不相同的直線m、ln和平面α、β的四個命題:

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  ①若;

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  ②若m、l是異面直線,;

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③若;

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  ④若

其中為真命題的是▲    ①②④      .

 

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4.【江蘇?蘇北四市】14.若RtΔABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=,N=,那么M、N的大小關(guān)系是M=N 

 

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5.【江蘇?蘇州】已知是兩條不同的直線,為兩個不同的平面,

有下列四個命題:

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①若,m⊥n,則;

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②若,則;

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③若,則;

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④若,則

其中正確的命題是(填上所有正確命題的序號)_______①④________.

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6.【江蘇?泰州實驗】13.已知正四棱錐P―ABCD的高為4,側(cè)棱長與底面所成的角為,則該正四棱錐的側(cè)面積是                   

 

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7.【江蘇?泰州】3、已知、是三個互不重合的平面,是一條直線,給出下列四個命題:

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①若,則;               ②若,則;

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③若上有兩個點到的距離相等,則;  ④若,則。

   其中正確命題的序號是           

 

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8.【江蘇?泰州】11、正三棱錐高為2,側(cè)棱與底面成角,則點A到側(cè)面的距離是      

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9.【江蘇?鹽城】13.如圖,在三棱錐中, 、兩兩垂直,且.設(shè)是底面內(nèi)一點,定義,其中、分別是三棱錐、 三棱錐、三棱錐的體積.若,且恒成立,則正實數(shù)的最小值為____▲1____.

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二、計算題

1.【江蘇?無錫】16.(本小題滿分14分)

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直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,

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∠BAD=∠ADC=90°,

(Ⅰ)求證:AC⊥平面BB1C1C;

(Ⅱ)在A1B1上是否存一點P,使得DP與平面BCB1

平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.

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證明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分

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∠BAD=∠ADC=90°,,

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,∠CAB=45°,∴ BC⊥AC.………………5分

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,平面BB1C1C AC⊥平面BB1C1C.  …7分

(Ⅱ)存在點P,P為A1B1的中點. ……………………………………8分

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證明:由P為A1B1的中點,有PB1‖AB,且PB1AB.……………………9分

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又∵DC‖AB,DC=AB,*DC ∥PB1,且DC= PB1

∴DC PB1為平行四邊形,從而CB1∥DP.…………………………11分

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又CB1面ACB1,DP 面ACB1,*DP‖面ACB1.………………………………13分

同理,DP‖面BCB1.…………………………………………………14分

評講建議:

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識,第一小題要引導(dǎo)學(xué)生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小題,要求學(xué)生熟練掌握一個常用結(jié)論:若一直線與兩相交平面相交,則這條直線一定與這兩平面的交線平行;同時注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性,這里只需要指出結(jié)論并驗證其充分性即可,當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論,再證明之,這事實上證明了結(jié)論是充分且必要的.

 

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2.【江蘇?淮、徐、宿、連】16.(本小題滿分14分)

如圖,四邊形ABCD為矩形,BC上平面ABE,F(xiàn)為CE上的點,且BF⊥平面ACE.

(1)求證:AE⊥BE;

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(2)設(shè)點M為線段AB的中點,點N為線段CE的中點.

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  求證:MN∥平面DAE.

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【解】(1)證明:因為,

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所以,………………………………………………2分

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,

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所以, ……………………………………………4分

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,所以……………………………………………6分

試題詳情

,所以.       ……………………………………………8分

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(2)取的中點,連接,因為點為線段的中點.

試題詳情

所以||,且, ……………………………………………………10分

試題詳情

又四邊形是矩形,點為線段的中點,所以||,且,

試題詳情

所以||,且,故四邊形是平行四邊形,所以||…………12分

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平面,平面,所以∥平面.   …………………14分

 

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3.

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【江蘇?淮、徐、宿、連】22.在正方體ABCD―A1B1C1D1中,F(xiàn)是BC的中點,點E在D1C1上,且D1E=D1C1,試求直線EF與平面D1AC所成角的正弦值.

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【解】設(shè)正方體棱長為1,以為單位正交基底,建立如圖所示坐標系,則各點的坐標分別為,, ,……………………2分

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所以,,    ……………………4分

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為平面的法向量,

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.……8分

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所以直線與平面所成角的正弦值為.………………………………10分

 

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4.【江蘇?南通】15.(本小題14分)

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在邊BC上,AD⊥C1D.

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(1)求證:AD⊥平面BC C1 B1

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(2)設(shè)E是B1C1上的一點,當(dāng)的值為多少時,

A1E∥平面ADC1?請給出證明.

 

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解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面ABC,AD平面ABC,

∴ AD⊥C C1.………………………2分

又AD⊥C1D,C C1交C1D于C1,且C C1和C1D都在面BC C1 B1內(nèi),

              ∴ AD⊥面BC C1 B1.   ……………………………………………5分

(2)由(1),得AD⊥BC.在正三角形ABC中,D是BC的中點.…………7分

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當(dāng),即E為B1C1的中點時,A1E∥平面ADC1.…………………8分

事實上,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BC C1 B1是矩形,且D、E分別是BC、B1C1的中點,所以B1B∥DE,B1B= DE. ……………………10分

又B1B∥AA1,且B1B=AA1,

∴DE∥AA1,且DE=AA1.  …………………………………………12分

所以四邊形ADE A1為平行四邊形,所以E A1∥AD.

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而E A1面AD C1內(nèi),故A1E∥平面AD C1. …………………………14分

 

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5.【江蘇?啟東中學(xué)模擬】

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        1. 試題詳情

          ∠ACB=900,AC=1,C點到AB1的距離為CE=,D為AB的中點.

          (1)求證:AB­1⊥平面CED;

          (2)求異面直線AB1與CD之間的距離;

          【解】(1)∵D是AB中點,△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.

          ∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面CDE;

          (2)由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE

          ∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1

          ∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段

          試題詳情

          ∵CE=,AC=1 , ∴CD=

          試題詳情

           

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          6.【江蘇?啟東中學(xué)】16.(本題滿分14分,第1問4分,第2問5分,第3問5分)

          如下的三個圖中,分別是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖以及它的主視圖和左視圖(單位:cm)

          (1)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;

          (2)按照給出的尺寸,求該多面體的體積;

          試題詳情

          (3)在所給直觀圖中連結(jié),證明:

          試題詳情

          【解】(1)如圖

          試題詳情

          ------------4分

          試題詳情

          (2)所求多面體體積.--------9分

           

          試題詳情

          (3)證明:在長方體中,

          試題詳情

          連結(jié),則

          試題詳情

          因為分別為中點,所以--11分

          試題詳情

          從而.又平面,所以. --------------14分

           

           

          試題詳情

          7.【江蘇?蘇北四市】16. (本題滿分14分)

          試題詳情

          如圖,已知空間四邊形中,的中點.

          試題詳情

          求證:(1)平面CDE;

          試題詳情

          (2)平面平面. 

          試題詳情

          (3)若G為的重心,試在線段AE上確定一點F,使得GF平面CDE.

          試題詳情

          【解】證明:(1)同理,

          試題詳情

          又∵       ∴平面.  …………………5分

          試題詳情

          (2)由(1)有平面

          試題詳情

          又∵平面,    ∴平面平面.………………9分

          試題詳情

          (3)連接AG并延長交CD于H,連接EH,則,

          試題詳情

          在AE上取點F使得,則,易知GF平面CDE.…………………14分

           

          試題詳情

          8.【江蘇?蘇北四市】4. 已知斜三棱柱,,在底面上的射影恰為的中點,又知

          試題詳情

          (I)求證:平面;

          試題詳情

          (II)求到平面的距離;

          試題詳情

          (III)求二面角余弦值的大小。

          試題詳情

          【解】(I)如圖,取的中點,則,因為

          試題詳情

                 所以,又平面,

          試題詳情

                 以軸建立空間坐標系,

          試題詳情

                 則,,,

          試題詳情

          ,,

          試題詳情

          ,,

          試題詳情

          ,由,知,

          試題詳情

                 又,從而平面;

          試題詳情

                 (II)由,得

          試題詳情

                 設(shè)平面的法向量為,,所以

          試題詳情

          ,設(shè),則

          試題詳情

                 所以點到平面的距離。

          試題詳情

                 (III)再設(shè)平面的法向量為,,,

                 所以

          試題詳情

          ,設(shè),則,

          試題詳情

                 故,根據(jù)法向量的方向,

          試題詳情

                 可知二面角的余弦值大小為

           

          試題詳情

          9.17.【江蘇?蘇州】(本小題滿分15分)

          試題詳情

          在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點,PA=2AB=2.

          (Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;

          (Ⅱ)若F為PC的中點,求證PC⊥平面AEF;

          (Ⅲ)求證CE∥平面PAB.

          【解】(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,

          試題詳情

          ∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.

          在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,

          試題詳情

          ∴CD=2,AD=4.

          試題詳情

          ∴SABCD

          試題詳情

          .……………… 3分

          試題詳情

          則V=.     ……………… 5分

          試題詳情

          (Ⅱ)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點,

          ∴AF⊥PC.            ……………… 7分

          ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.

          ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

          ∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.

          ∵E為PD中點,F(xiàn)為PC中點,

          ∴EF∥CD.則EF⊥PC.       ……… 9分

          ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分

          (Ⅲ)證法一:

          取AD中點M,連EM,CM.則EM∥PA.

          試題詳情

          ∵EM 平面PAB,PA平面PAB,

          ∴EM∥平面PAB.   ……… 12分

          在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,

          ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.

          試題詳情

          ∵MC 平面PAB,AB平面PAB,

          ∴MC∥平面PAB.  ……… 14分

          ∵EM∩MC=M,

          ∴平面EMC∥平面PAB.

          試題詳情

          ∵EC平面EMC,

          ∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

          證法二:

          延長DC、AB,設(shè)它們交于點N,連PN.

          ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,

          ∴C為ND的中點.         ……12分

          ∵E為PD中點,∴EC∥PN.……14分

          試題詳情

          ∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,

          ∴EC∥平面PAB.   ……… 15分

           

           

          試題詳情

          10.【江蘇?泰州實驗】16. (本題滿分14分)四棱錐中,底面為矩形,

          試題詳情

          側(cè)面底面,

          試題詳情

          (Ⅰ)取的中點為的中點為,證明:;

          試題詳情

          (Ⅱ)證明:

          試題詳情

          【解】 (1)取的中點為可以證明

          試題詳情

          ,   …………………6分

          試題詳情

          (2)取中點,連接于點

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          試題詳情

          又面

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          .………………….10分

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          ,即

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          .………………….14分

           

          試題詳情

          11.【江蘇?泰州實驗】3.(本小題滿分10分)右圖是一個直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為.已知,

          試題詳情

          (1)設(shè)點的中點,證明:平面

          試題詳情

          (2)求二面角的大�。�

          【解】解法一:

          試題詳情

          (1)證明:作,連

          試題詳情

          試題詳情

          因為的中點,

          試題詳情

          所以

          試題詳情

          是平行四邊形,因此有

          試題詳情

          平面平面,

          試題詳情

          .……………….5分

          試題詳情

          (2)如圖,過作截面,分別交

          試題詳情

          ,連

          試題詳情

          因為,所以,則平面

          試題詳情

          又因為

          試題詳情

          所以,根據(jù)三垂線定理知,所以就是所求二面角的平面角.

          試題詳情

          因為,所以,故

          試題詳情

          即:所求二面角的大小為.……………….10分

          解法二:

          試題詳情

          (1)如圖,以為原點建立空間直角坐標系,

          試題詳情

          因為的中點,所以,

          試題詳情

          試題詳情

          易知,是平面的一個法向量.

          試題詳情

          因為平面,

          試題詳情

          所以平面.……………….5分

          試題詳情

          (2),

          試題詳情

          設(shè)是平面的一個法向量,則

          試題詳情

          得:

          試題詳情

          試題詳情

          顯然,為平面的一個法向量.

          試題詳情

          ,結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角.

          試題詳情

          所以二面角的大小是.……………….10分

           

          試題詳情

          12.【江蘇?泰州】16、如圖所示,在棱長為2的正方體中,、分別為、

          中點.

          試題詳情

          (1)求證://平面;

          試題詳情

          (2)求證:;

          試題詳情

          (3)求三棱錐的體積.

          試題詳情

          【解】證明:(1)連結(jié),在中,分別為,的中點,則

          試題詳情

                      

          (2)

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          (3)

          試題詳情

               且 

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          試題詳情

             即    

          試題詳情

          =

          試題詳情

          = 

           

          試題詳情

          13.【江蘇?鹽城】16. (本小題滿分14分)

          試題詳情

          如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,側(cè)棱,底面是直角梯形,其中,,,上一點.

          試題詳情

          (Ⅰ)若,試指出點的位置;

          試題詳情

           (Ⅱ)求證:.

          試題詳情

          【解】 (Ⅰ)解:因為,,且,

          試題詳情

          所以………………………………………………………(4分)

          試題詳情

             又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

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             而,故點的位置滿足…………………………………………………(7分)

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          (Ⅱ)證: 因為側(cè)面底面,,且,

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          所以,則………………………………………(10分)

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             又,且,所以 ………(13分)

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             而,所以………………………(14分)

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          14.【江蘇?鹽城】22.(本小題滿分10分)

          如圖,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.

          (Ⅰ)求點A到平面PBD的距離;

          (Ⅱ)求二面角A―PB―D的余弦值.

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          【解】 解:以O(shè)A、OB所在直線分別x軸,y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標系,則,…(2分)

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          (Ⅰ)設(shè)平面PDB的法向量為,

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              由,

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               所以=………………………………(5分)

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            (Ⅱ)設(shè)平面ABP的法向量,

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               ,,

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               ,而所求的二面角與互補,

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          所以二面角A―PB―D的余弦值為………………………………………(10分)

           

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          15.【江蘇?常州】16.(14分)如圖,在組合體中,是一個長方體,是一個四棱錐,

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          ,點平面

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          (1)      證明:平面;    

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          (2)      證明:平面。

          【解】(略)

           

           

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          同步練習(xí)冊答案
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