《空間向量與立體幾何》
一、填空題
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所成的角的大小為 ★ .
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3.【江蘇?蘇北四市】10.給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個命題:
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①若;
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②若m、l是異面直線,;
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③若;
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④若
其中為真命題的是▲ ①②④ .
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5.【江蘇?蘇州】已知是兩條不同的直線,為兩個不同的平面,
有下列四個命題:
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①若,m⊥n,則;
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②若,則;
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③若,則;
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④若,則.
其中正確的命題是(填上所有正確命題的序號)_______①④________.
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6.【江蘇?泰州實驗】13.已知正四棱錐P―ABCD的高為4,側(cè)棱長與底面所成的角為,則該正四棱錐的側(cè)面積是 .
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二、計算題
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直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,
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∠BAD=∠ADC=90°,.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)在A1B1上是否存一點P,使得DP與平面BCB1與
平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.
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證明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分
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又∠BAD=∠ADC=90°,,
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又,平面BB1C1C, AC⊥平面BB1C1C. …7分
(Ⅱ)存在點P,P為A1B1的中點. ……………………………………8分
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證明:由P為A1B1的中點,有PB1‖AB,且PB1=AB.……………………9分
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又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1,
∴DC PB1為平行四邊形,從而CB1∥DP.…………………………11分
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又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1.………………………………13分
同理,DP‖面BCB1.…………………………………………………14分
評講建議:
本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識,第一小題要引導(dǎo)學(xué)生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小題,要求學(xué)生熟練掌握一個常用結(jié)論:若一直線與兩相交平面相交,則這條直線一定與這兩平面的交線平行;同時注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性,這里只需要指出結(jié)論并驗證其充分性即可,當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論,再證明之,這事實上證明了結(jié)論是充分且必要的.
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2.【江蘇?淮、徐、宿、連】16.(本小題滿分14分)
如圖,四邊形ABCD為矩形,BC上平面ABE,F(xiàn)為CE上的點,且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;
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(2)設(shè)點M為線段AB的中點,點N為線段CE的中點.
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求證:MN∥平面DAE.
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【解】(1)證明:因為,,
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所以,………………………………………………2分
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又,,
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所以, ……………………………………………4分
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又,所以……………………………………………6分
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又,所以. ……………………………………………8分
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【江蘇?淮、徐、宿、連】22.在正方體ABCD―A1B1C1D1中,F(xiàn)是BC的中點,點E在D1C1上,且D1E=D1C1,試求直線EF與平面D1AC所成角的正弦值.
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為平面的法向量,
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.……8分
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所以直線與平面所成角的正弦值為.………………………………10分
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4.【江蘇?南通】15.(本小題14分)
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在邊BC上,AD⊥C1D.
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(1)求證:AD⊥平面BC C1 B1;
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(2)設(shè)E是B1C1上的一點,當(dāng)的值為多少時,
A1E∥平面ADC1?請給出證明.
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解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面ABC,AD平面ABC,
∴ AD⊥C C1.………………………2分
又AD⊥C1D,C C1交C1D于C1,且C C1和C1D都在面BC C1 B1內(nèi),
∴ AD⊥面BC C1 B1. ……………………………………………5分
(2)由(1),得AD⊥BC.在正三角形ABC中,D是BC的中點.…………7分
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當(dāng),即E為B1C1的中點時,A1E∥平面ADC1.…………………8分
事實上,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BC C1 B1是矩形,且D、E分別是BC、B1C1的中點,所以B1B∥DE,B1B= DE. ……………………10分
又B1B∥AA1,且B1B=AA1,
∴DE∥AA1,且DE=AA1.
…………………………………………12分
所以四邊形ADE A1為平行四邊形,所以E A1∥AD.
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而E A1面AD C1內(nèi),故A1E∥平面AD C1. …………………………14分
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5.【江蘇?啟東中學(xué)模擬】
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