成都石室中學(xué)高2008級一診模擬考試
數(shù)學(xué)試卷(理)
第Ⅰ卷(選擇題,共60分)
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.函數(shù)的圖象 ( )
A 關(guān)于軸對稱 B 關(guān)于軸對稱 C 關(guān)于原點對稱 D 關(guān)于對稱
2.函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是( )
3.已知,則是的 ( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設(shè)是第四象限角,,則 ( )
A. B. C. D.
5.已知是不重合的兩條直線,是不重合的兩個平面,則下列命題
①,則 ②,則
③若,則; ④,則
其中真命題個數(shù)為 ( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
6.在等差數(shù)列中,若,則的值為 ( )
A. 14 B.
7.如圖,正方體的棱長為,過點作平面的垂線,垂足為點,
則以下命題中,錯誤的命題是( 。
A.點是的垂心 B.垂直平面
C.直線和所成角為 D.的延長線經(jīng)過點
8.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有 ( )
A.24種 B.18種 C.12種 D.6種
9.定義域為的函數(shù),若關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解,則等于 ( )
A. B. C.1 D.0
10.已知是等差數(shù)列,若且它的前項和有最大值,則當(dāng)取得最小正值時,為( )
A.11 B.
11.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則,的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D. 不確定
12.設(shè)函數(shù),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={},則使M=N成立的實數(shù)對(a,b)有 ( )
(A) 2個 (B)1個 (C) 0個 (D)無數(shù)多個
Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
二.填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.)
13.若的展開式中第三項是常數(shù)項,則 ,且這個展開式中各項的系數(shù)和為____
14.在四面體中,兩兩垂直,且,則四面體的
外接球的體積為_______
15.已知O是△ABC內(nèi)一點,的面積的比值為
16.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點,對稱且滿足,,
,則
第Ⅱ卷(選擇題,共90分)
二.填空題:
13. , ; 14. ; 15. ; 16.
三.解答題:
17.(本小題12分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.
18.(本小題12分)
如圖(1)在直角梯形中,,、、分別是、、的中點,現(xiàn)將沿折起,使平面平面(如 圖2)
(Ⅰ)求二面角的大。
(Ⅱ)在線段上確定一點,使平面,并給出證明過程.
19.(本小題12分)
2008年奧運會即將在北京舉行,為了迎接這次奧運盛會某中學(xué)從學(xué)生中選出100名優(yōu)秀學(xué)生代表,在舉行奧運之前每人至少參加一次社會公益活動,他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示從100名優(yōu)秀代表中任選兩名,
(Ⅰ)求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率,
(Ⅱ)用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。
20.(本小題12分)
已知數(shù)列的前項和為,且.
(Ⅰ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式及前項和,并求;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足:,,求數(shù)列的通項公式.
21.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(I)當(dāng)a=2時,求f(x)的極值;
(II)若不等式對所有的實數(shù)R均成立,求a的取值范圍.
22.已知函數(shù)滿足下列條件:對任意的實數(shù)x1,x2都有
和 , 其中是大于0的常數(shù).
設(shè)實數(shù)a0,a,b滿足和
(Ⅰ)證明,并且不存在,使得;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)證明.
一.DCBAB CCBAC CC
二.13.6,1 14. 15. 16. 1
三.17.解:(Ⅰ).最小正周期為.
(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,
最小值為
18. 就是二面角的平面角.
在中,
,即二面角的大小為.
(2) 當(dāng)點是線段的中點時,有平面.證明過程如下:
為的中點,∥,又∥,∥,從而、、、四點共面.在中,為的中點,
,又平面,,
,又,平面,即平面.
解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為,則
,取
又平面的法向量為所以
即二面角的大小為.
(2)設(shè)則
又,平面點是線段的中點.
19.① ………………6分
②可能取值為0,1,2,則 ………………7分
, ……10分
隨機變量的分布列為
ξ
0
1
2
P
………………11分
………12分
20.解:(I)將代入已知,整理得 --3分
又由已知,所以數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. ----------4分
(II)由(I)的結(jié)論可得, ∴. -----------5分
當(dāng)時,,
由已知,∵當(dāng)時, ,∴ . -----7分 ------8分
(III)由,得,由此式可得
,,,.
把以上各等式相加化簡得 , --------10分
∴---------12分
21.解:當(dāng)a=2時,
設(shè)得,那么
當(dāng)x變化時及變化情況如下表
x
()
-1
(-1,1)
1
()
+
0
-
0
+
極大值
極小值
(II)若不等式對所有的實數(shù)R均成立,
即恒成立,
設(shè)g(x)= ,
時或x=1(列表略)
易知時g(x)取極大值,x=1時g(x)取極小值,
且當(dāng)時,即g(x)>0
因而g(x)最小值為,解得0<a<ln3
(22)證明:(1)任取,則由 ①
和 ②
可知,,從而;
假設(shè)有,使得,則由①式知,,矛盾,因此不存在,使得。
(2)由 ③可知
④
由和①得, ⑤
由和②得, ⑥
將⑤⑥代入④得;
(3)由③式可知,
(用②式)
(用①式)
。
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