成都石室中學(xué)高2008級一診模擬考試

數(shù)學(xué)試卷(理)

第Ⅰ卷(選擇題,共60分)

一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)

1.函數(shù)的圖象        (    )

  A 關(guān)于軸對稱     B 關(guān)于軸對稱       C 關(guān)于原點對稱        D 關(guān)于對稱

2.函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是(   )

 

 

 

 

 

 

3.已知,則的                    (    )

   A.必要不充分條件   B.充分不必要條件   C.充要條件         D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)是第四象限角,,則              (    )

  A.               B.               C.             D.

5.已知是不重合的兩條直線,是不重合的兩個平面,則下列命題

   ①,則                  ②,則

   ③若,則;     ④,則

   其中真命題個數(shù)為                                            (    )

A.0個           B.1個              C.2個          D.3個

6.在等差數(shù)列中,若,則的值為 (    )    

    A.  14           B.  15           C.  16           D.  17

7.如圖,正方體的棱長為,過點作平面的垂線,垂足為點,

則以下命題中,錯誤的命題是( 。

A.點的垂心         B.垂直平面

C.直線所成角為    D.的延長線經(jīng)過點

8.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有                                              (    )

   A.24種           B.18種             C.12種              D.6種

9.定義域為的函數(shù),若關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解,則等于    (    )

A.          B.            C.1                 D.0

10.已知是等差數(shù)列,若且它的前項和有最大值,則當(dāng)取得最小正值時,為(  )

   A.11             B.20              C.19                 D.21

11.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則,的大小關(guān)系是(    )

   A.        B.             C.        D. 不確定

12.設(shè)函數(shù),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={},則使M=N成立的實數(shù)對(a,b)有                                (      )

(A) 2個         (B)1個         (C)  0個        (D)無數(shù)多個

 

 

Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

 

二.填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.)

13.若的展開式中第三項是常數(shù)項,則   ,且這個展開式中各項的系數(shù)和為____

14.在四面體中,兩兩垂直,且,則四面體

外接球的體積為_______

15.已知O是△ABC內(nèi)一點,的面積的比值為       

16.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點,對稱且滿足,

,則            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅱ卷(選擇題,共90分)

二.填空題:

   13.       ,        ; 14.               ;  15.                 ; 16.                

三.解答題:

17.(本小題12分)已知函數(shù)

   (Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;

   (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(本小題12分)

如圖(1)在直角梯形中,,、分別是、的中點,現(xiàn)將沿折起,使平面平面(如 圖2)

(Ⅰ)求二面角的大。

(Ⅱ)在線段上確定一點,使平面,并給出證明過程.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(本小題12分)

2008年奧運會即將在北京舉行,為了迎接這次奧運盛會某中學(xué)從學(xué)生中選出100名優(yōu)秀學(xué)生代表,在舉行奧運之前每人至少參加一次社會公益活動,他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示從100名優(yōu)秀代表中任選兩名,

(Ⅰ)求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率,

(Ⅱ)表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.(本小題12分)

已知數(shù)列的前項和為,且.

(Ⅰ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;

(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式及前項和,并求

(Ⅲ)若數(shù)列滿足:,,求數(shù)列的通項公式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)

   (I)當(dāng)a=2時,求f(x)的極值;

   (II)若不等式對所有的實數(shù)R均成立,求a的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.已知函數(shù)滿足下列條件:對任意的實數(shù)x1,x2都有

    , 其中是大于0的常數(shù).

設(shè)實數(shù)a0,a,b滿足

(Ⅰ)證明,并且不存在,使得;

(Ⅱ)證明;

(Ⅲ)證明.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一.DCBAB   CCBAC   CC

二.13.6,1       14.       15.      16. 1

三.17.解:(Ⅰ).最小正周期為

   (Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,

最小值為

18. 就是二面角的平面角.

中,

,即二面角的大小為.

(2) 當(dāng)點是線段的中點時,有平面.證明過程如下:

的中點,,又,,從而、、、四點共面.在中,的中點,

,又平面,,

,又,平面,即平面

解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為,則

,取

又平面的法向量為所以

即二面角的大小為.

(2)設(shè)

,平面是線段的中點.

19.① ………………6分

可能取值為0,1,2,則                               ………………7分

, ……10分

隨機變量的分布列為

ξ

0

1

2

P

                                                                                                  ………………11分

                   ………12分

20.解:(I)將代入已知,整理得 --3分

又由已知,所以數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. ----------4分

(II)由(I)的結(jié)論可得, ∴.     -----------5分

當(dāng)時,,

由已知,∵當(dāng)時, ,∴ .  -----7分                         ------8分

(III)由,得,由此式可得

,,.

把以上各等式相加化簡得   ,   --------10分

---------12分

文本框: D21.解:當(dāng)a=2時,

設(shè),那么

當(dāng)x變化時變化情況如下表

x

()

-1

(-1,1)

1

()

+

0

0

+

 

極大值

 

極小值

 

   (II)若不等式對所有的實數(shù)R均成立,

恒成立,

設(shè)g(x)=  ,

x=1(列表略)

易知時g(x)取極大值,x=1時g(x)取極小值,

且當(dāng),即g(x)>0

因而g(x)最小值為,解得0<a<ln3

(22)證明:(1)任取,則由

可知,,從而;

假設(shè)有,使得,則由①式知,,矛盾,因此不存在,使得

(2)由 ③可知

 ④

和①得,

和②得,              ⑥

將⑤⑥代入④得

(3)由③式可知,

          (用②式)

                 (用①式)

。

 

 


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