1.   (a)  求所有正整數(shù) n 使得  2ⁿ - 1 能被 7整除；

   (b) 求證不存在正整數(shù) n 使得 2ⁿ + 1 能被 7 整除。

2.  假設(shè)a、b、c是某三角形的三邊長，求證：

a²(b + c - a) + b²(c + a - b) + c²(a + b - c) <= 3abc.

3.  三角形ABC的三邊長為別為a、b、c。分別平行于ABC的各邊作三角形ABC內(nèi)切圓的切線，每條切線都在ABC中又切出一個(gè)小三角形，再在每個(gè)這樣的小三角形中作內(nèi)切圓，求這四個(gè)內(nèi)切圓的面積之和（用a,b,c表示）。

4.十七個(gè)人互相通信，每一個(gè)人都和其他人寫信。在他們的信上一共討論有三個(gè)不同的話題，每兩個(gè)人只討論一個(gè)話題，求證：這些人當(dāng)中至少有三個(gè)人他們所討論的話題是一樣的。

5.平面上有五個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)的連線都不平行，也不垂直，現(xiàn)從每一個(gè)點(diǎn)向其他四點(diǎn)兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點(diǎn)的最大數(shù)目。

6.四面體ABCD的中心是D₀ ，分別過A、B、C作 DD₀ 的平行線，這些線分別交平面BCD、CAD、ABD于點(diǎn) A₀、 B₀、 C₀，求證：ABCD的體積是A₀B₀C₀D₀的三分之一；再問如果 D₀ 為三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，結(jié)果是否仍然成立？