1.  d是不為2,5,13的正整數(shù)，試證明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的兩數(shù)a,b滿足ab-1不是一個(gè)完全平方數(shù)。

2. 在三角形 A₁A₂A₃ 所在的平面上有一給定點(diǎn)P₀，當(dāng)s>=4時(shí)定義 A_s = A_s-3 ，現(xiàn)使用以下的方法構(gòu)造一系列點(diǎn)P₁, P₂, P₃, ...： P_k+1 是 P_k 繞 A_k+1 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到的點(diǎn)（k = 0, 1, 2,...）。如果 P₁₉₈₆ = P₀，求證A₁A₂A₃是等邊三角形。

3. 給正五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)賦值一個(gè)整數(shù)，使這5個(gè)整數(shù)之和是正的。對于任何三個(gè)連續(xù)的頂點(diǎn)設(shè)它們所賦予的數(shù)分別是x,y,z，如果y < 0則執(zhí)行下述操作：將x,y,z分別替換為x + y, -y, z + y。重復(fù)執(zhí)行這樣的操作直到這5個(gè)頂點(diǎn)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)值。試問能否經(jīng)過有限步之后操作結(jié)束。

4. O是正n(n >= 5)邊形的中心 ，設(shè) A, B 是一對相鄰的頂點(diǎn)。設(shè)開始的時(shí)候三角形XYZ與三角形OAB重合，現(xiàn)用如下的方式移動三角形XYZ：保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內(nèi)部。試求出當(dāng)Y、Z都走遍多邊形的邊界時(shí)X點(diǎn)所形成的軌跡。

5. 試找出所有定義在非負(fù)實(shí)數(shù)并取值也是非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù) f，使其滿足f(2) = 0；當(dāng) 0<= x <2時(shí)f(x)不等于0；對所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。

6. 給定平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)，問有沒有一種將這些點(diǎn)涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標(biāo)軸（兩個(gè)坐標(biāo)軸中的任何一個(gè)）的直線 L上的紅點(diǎn)和白點(diǎn)的個(gè)數(shù)之差不大于1？