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2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)（新課程理工農(nóng)醫(yī)類）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

（1）

（A）（B）

（C）（D）

（2）已知，，則tan 2x＝

（A）（B）

（C）（D）

（3）設(shè)函數(shù)

若f(x₀)>1，則x₀的取值范圍是

（A）（－1，1）（B）（－1，＋∞）

試題詳情

（C）（－∞，－2）（0，＋∞）（D）（－∞，－1）（1，＋∞）

試題詳情

（4）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的

（A）外心（B）內(nèi)心

（C）重心（D）垂心

試題詳情

（5）函數(shù)，x∈(1，+∞)的反函數(shù)為

試題詳情

（A），x∈(1，+∞) （B），x∈(1，+∞)

試題詳情

（C），x∈(－∞，0) （D），x∈(－∞，0)

（6）棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為

試題詳情

（A）（B）（C）（D）

試題詳情

（7）設(shè)a>0，f(x)＝ax²+bx+c，曲線y＝f(x)在點P(x₀，f(x₀))處切線的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y＝f(x)對稱軸距離的取值范圍為

試題詳情

（A）（B）

試題詳情

（C）（D）

試題詳情

（8）已知方程(x²－2x+m)(x²－2x+n)的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則
|m－n|＝

試題詳情

（A）1 （B）（C）（D）

試題詳情

（9）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是

試題詳情

（A）（B）

試題詳情

（C）（D）

（10）已知長方形的四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質(zhì)點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射CD、DA到AB和上的點P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．設(shè)P₄的坐標(biāo)為(x₄，0)．若1< x₄<2，則tgθ的取值范圍是

（A）（B）

（C）（D）

（11）

（A）3 （B）（C）（D）6

（12）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為

試題詳情

（A）3p （B）4p （C）（D）6π

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

試題詳情

二、選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．

（13）展開式中x⁹的系數(shù)是．

（14）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取_______，_______，_________輛．

試題詳情

（15）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數(shù)字作答）

（16）下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是．（寫出所有符合要求的圖表序號）

試題詳情

（17）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝2sin x (sin x+cos x)．

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（Ⅱ）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)的區(qū)間上的圖象

試題詳情

（18）（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱
AA₁＝2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

（Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（Ⅱ）求點A₁到平面AED的距離．

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

設(shè)a>0，求函數(shù)（x∈(0，+∞)）的單調(diào)區(qū)間．

（20）（本小題滿分12分）

A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官�，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁，A₂，A₃，B隊隊員是B₁，B₂，B₃，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣對員

A隊隊員勝的概率

A隊隊員負的概率

A₁對B₁

試題詳情

A₂對B₂

試題詳情

A₃對B₃

試題詳情

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為x、h．

（Ⅰ）求x、h的概率分布；

（Ⅱ）求Ex、Eh．

（21）（本小題滿分12分）

已知常數(shù)a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．經(jīng)過原點O以c+li為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i－2lc為方向向量的直線相交于點P，其中l∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得| PE | + | PF |為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（22）（本小題滿分14分）

設(shè)a₀為常數(shù)，且a_n＝3ⁿ^－1－2a_n_－1（n∈N）．

試題詳情

（Ⅰ）證明對任意n≥1，；

（Ⅱ）假設(shè)對任意n≥1有a_n>a_n_－1，求a₀的取值范圍．

2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

試題詳情

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．

（1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）C

（7）B （8）C （9）D （10）C （11）B （12）A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．

（13）（14）6，30，10 （15）120 （16）①④⑤

三、解答題：

（17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．

解（I）

所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是

（18）本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．

解法一：（Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角．

設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC，

∵ D、E分別是CC₁、A₁B的中點，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF為矩形．

連結(jié)DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF．

在直角三角形EFD中，

，

∵ EF＝1，∴ ……4分

于是

∵ ∴

∴

∴ A₁B與平面ABC所成的角是

（Ⅱ）連結(jié)A₁D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，

∴ ED⊥平面A₁AB．

設(shè)A₁到平面AED的距離為h．

則

又

∴

即A₁到平面AED的距離為

解法二： （Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A₁BG是A₁B與平面ABD所成的角．

如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A₁(2a，0，2)，E(a，a，1)，．

∴ ，．

∴ ，解得 a＝1．

∴ ，．

∴ ．

A₁B與平面ABD所成角是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A₁(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

，

∴ ED⊥平面AA₁E，又EDÌ平面AED，

∴ 平面AED⊥平面AA₁E，又面AED面AA₁E＝AE，

∴ 點A₁在平面AED的射影K在AE上．

設(shè) ，

則．

由，即l+l+l－2＝0，

解得．

∴ ．

故A₁到平面AED的距離為．

（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力．滿分12分．

解：．

當(dāng)a>0，x>0時

f ¢(x)>0Ûx²+(2a－4)x+a²>0，

f ¢(x)<0Ûx²+(2a－4)x+a²<0．

（?）當(dāng)a > 1時，對所有x > 0，有

x²+(2a－4)x+a²>0，

即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)a＝1時，對x≠1，有

x²+(2a－4)x+a²>0，

即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

又知函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)0<a<1時，令f ¢(x)>0，即

x²+(2a－4)x+a²>0，

解得，或．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增．

令f ¢(x)<0，即x²+(2a－4)x+a²< 0，

解得

．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

（20）本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分．

解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．

，

；

根據(jù)題意知x+h=3，所以

，

．

（Ⅱ）；

因為 x +h＝3，

所以．

（21）本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，

∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．

因此，直線OP和AP的方程為

ly=ax 和 y－a＝－2lax．

消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)=－2a²x²，

整理得． ①

因為a>0，所以得：

（?）當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

（?）當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點：

（?）當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點．

（22）本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．

（Ⅰ）證法一：（?）當(dāng)n＝1時，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

（?）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）等式成立，即

，

那么

，

也就是說，當(dāng)n＝k+1時，等式也成立．

根據(jù)（?）和（?），可知等式對任何n∈N₊成立．

證法二：如果設(shè)a_n－a3ⁿ=－2(a_n_－1－a3ⁿ^－1)，

用代入，可解出．

所以是公比為－2，首項為的等比數(shù)列．

∴ （n∈N₊），

即．

（Ⅱ）解法一：由a_n通項公式

，

∴ a_n>a_n_－1（n∈N₊）等價于

（n∈N₊）． ①

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，①式即為

，

即為． ②

②式對k＝1，2，…都成立，有

．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，①式即為

，

即為．

③式對k＝1，2，…都成立，有

． ②

綜上，①式對任意n∈N₊成立，有．

故a₀的取值范圍為（0，）．

解法二：如果a_n>a_n_－1（n∈N₊）成立，特別取n＝1，2有

a₁－a₀=1－3a₀>0，

a₂－a₁=6a₀>0，

因此．

下面證明當(dāng)時，對任意n∈N₊，有a_n－a_n_－1>0．

由a_n通項公式

．

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，

＝0．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，

≥0．

故a₀的取值范圍為（0，）．

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