轉化

轉化

面面平行線面平行線線平行；

主要依據是有關的定義及判定定理和性質定理．?

2.       如圖所示，四棱錐P―ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。

(1)求證：BM∥平面PAD；

(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，

二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

答案：（1）是的中點，取PD的中點，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥     （4分）

 （2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，

在平面內設，，，  由        

由        

是的中點，此時           （8分）

 （3）設直線與平面所成的角為

，，設為

故直線與平面所成角的正弦為                （12分）

解法二：

 （1）是的中點，取PD的中點，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥     （4分）

 （2）由（1）知為平行四邊形

，又

    同理，

    為矩形    ∥，，又

    作故

交于，在矩形內，，

，    為的中點

當點為的中點時，                  （8分）

 （3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設為，

直線與平面所成的角的正弦值為    

點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現出來

3.       如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.

(Ⅰ)求與底面所成角的大小；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法  求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法 

答案：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

連結OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．               ……6分

(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空間直角坐標系如圖，則, ．

由M為PB中點，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                              ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

則，從而x+z=0；  ……①,  ，從而． ……②

由①、②，取x=−1，則．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值為－．  ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上                              

（Ⅱ）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，

又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，

則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值為

 點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強   用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

4.       如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

   （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

   （2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。