2009福建省高考模擬試卷數學（理）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題），全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

參考公式：

樣本數據的標準差：

為樣本平均數；

柱體體積公式：，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，其中R為球的半徑。

 

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

 

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案填在題目后面的括號內。

1．復數的虛部是                                           （     ）

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       A．                     B．3                        C．                    D．

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2．已知集合的值為           （     ）

       A．1或－1或0        B．－1                     C．1或－1               D．0

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3．在的值是                             （     ）

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       A．5                        B．                    C．                      D．

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4.已知，則函數與函數的圖象可能是     （    ）

 

 

 

 

 

 

 

 

A．              B．              C．               D．

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5．已知拋物線過P（-2，3），則拋物線的標準方程為                        （    ）

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       A．                                       B．或

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       C．                                          D．或

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6.設a ,b, c分別是ΔABC的三個內角ABC所對的邊,則a2=b(b+c)是A=2B的      （     ）

       A．充要條件                              B．充分而不必要條件

       C．必要而不充分條件                      D．既不充分也不必要條件

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7．已知命題若命題是真命題，則實數的取值范圍是                     （    ）

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       A．                                             B．

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       C．                                  D．

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8．如果直線，則 必有  （    ）

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       A．                                B．

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       C．                                D．

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9．已知數列中， = 2，，，則 =    （    ）

       A． 36                    B． 38                     C． 40                     D． 42

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10．設函數f是定義在正整數有序對的集合上，并滿足：①②③則+的值是              （       ）

       A． 96                    B． 64                     C． 48                     D． 24

 

 

 

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分,共20分。請把正確答案填在題目后面的橫線上。

11．計算=          。

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12．如圖是甲乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，則平均得分高的________運動員．

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13. 根據如圖所示的算法流程圖，可知輸出的結果為_______________．

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14．已知某個幾何體的三視圖如圖（正視圖中的弧線是半圓），根據圖中標出的尺寸（單位：┩），可得這個幾何體的表面積是           cm2。

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15.若曲線y=f(x)上存在三點A、B、C,使,則稱點曲線有“中位點”，下列曲線：①y=cosx, ②,③,④y=cosx+x2,⑤,有“中位點”的有           （寫出所有滿足要求的序號）                

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16．（本小題滿分13分）

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已知，，求和的值．

 

 

 

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17．（本小題滿分13分）

    如圖，SA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，若∠ABC=90°，且SA=AB=BC=2AD。

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   （2）求面SDC與面SAB所成二面角的正切值。

 

 

 

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18．（本小題滿分13分）

    某單位舉行抽獎活動，每個員工有一次抽獎機會，抽獎箱中放有6個相同的乓乒球，其中三個球上標有數字1，兩個球上標有數字2，還有一個球上標有數字3，每個抽獎者從中一次抽出兩個球，記兩個球上所標數字的和為X，獎項及相應獎品價值如下表：

獎項

一等獎

二等獎

三等獎

X

5

4或3

2

獎品價值

200

100

50

   （1）求某員工獲一等獎的概率；

   （2）求某員工所獲獎品價值Y（元）的概率分布；

   （3）該單位共有員工30人，試估計該單位需要準備價值多少元的獎品？

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19．（本小題滿分13分）

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已知函數

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   （1）求曲線處的切線方程；

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   （2）當a<0時，求函數的單調區(qū)間；

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   （3）當a>0時，若不等式恒成立，求a的取值范圍。

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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   （Ⅰ）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡E的方程；

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   （Ⅱ）一直線l，原點到l的距離為

（1）求證直線l與曲線E必有兩上交點。

（2）若直線l與曲線E的兩個交點分別為G、H，

求△OGH的面積的最大值。

 

 

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21．（本小題共三小題，從中選做兩題，若三小題都做，則按前兩小題得分計算，每小題7分，滿分14分）

①．（矩陣與變換選做題）

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設，求A的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量。

 

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②．（坐標系與參數方程選做題）已知⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別是     （a是非零常數）。

   （1）將兩圓的極坐標方程化為直角坐標方程；

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   （2）若兩圓的圓心距為，求a的值。

 

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③．（不等式選講選做題）設函數

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   （1）解不等式；

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   （2）若的取值范圍。

2009福建省高考模擬試卷數學（理）

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說明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。

    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1―5 BADBB    6―10 ACCDA

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．     12．甲      13．7      14．         15．①③⑤

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

  16．解：……………………………………………………2分

       ………………………………………………………………4分

………………………………………………………………6分

………………………………………………9分

       …………………………11分

       ………………………………………………13分

則SA⊥BC。又∠ABC=90°，即AB⊥BC，

于是BC⊥面SAB……………………………………5分

為直角三角形。………………6分

   （2）解法一：延長BA，CD交于E，則SE為所求二面角，

    由AD//BC且BC=2AD，

    得AE+AS=ABSE⊥SB，

    又由SA⊥面ABCD面SAB⊥面ABCD。

結合∠ABC=90°，得

因此，的平面角。

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    解法二：取SB、BC的中點分別為G、H，
    連結AG、GB、AH、由CH//SC，AB//DC，
    得面AGB//面SDC。
    ∴所求的二面角即為面AGH與面AGB所成的角
    由于AG⊥SB，BR⊥面SAB。
    ∴∠BGH為所求二面角的平面角。
    在直角三角GBD中，，
    即面SDC與面SAB所成二面角的正切值為                                …………13分
    18．解：（1）某員工獲得一等獎的概率為………………4分
    （2）∵某員工獲三等獎的概率為…………………7分
        獲二等獎的概率為…………………9分
    ∴某員工所獲獎品價值Y（無）的概率分布為：
    Y
    200
    100
    50
    P
    ……………………10分
    （3）EY=200×+100×+50×=
    ∴該單位需準備獎品的價值約為元………………13分
    19．解：…………2分
    （1）
    ∴曲線處的切線方程為
    即………………4分
    （2）令
    當
    令
    上為減函數，在上增函數�！�6分
    當在R上恒成立。
    上為減函數�！�7分
    當
    令
    在上為增函數�！�8分
    綜上，當時，
    單調遞減區(qū)間為。
    當
    當
    單調遞減區(qū)間為（），（）……………………9分
    （3）a>0時，列表得：
    1
    （1，+）
    +
    0
    －
    0
    +
    ㄊ
    極大值
    ㄋ
    極小值
    ㄊ
    又
    從而，當…………11分
    由題意，不等式恒成立，
    所以得
    從而a的取值范圍為……………………13分
    20．解：（Ⅰ）圓，
    半徑
    QM是P的中垂線，連結AQ，則|AQ|=|QP|
    又，
    根據橢圓的定義，點Q軌跡是以C（－，0），A（，0）為焦點，長軸長為2  的橢圓，……………………2分
    由因此點Q的軌跡方程為………………4分
    （Ⅱ）（1）證明：當直線l垂直x軸時，由題意知：
    不妨取代入曲線E的方程得：
     
    即G（，），H（，－）有兩個不同的交點，………………5分
    當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為：
    由題意知：
    由
    ∴直線l與橢圓E交于兩點
    綜上，直線l必與橢圓E交于兩點…………………………8分
    （2）由（1）知當直線l垂直x軸時，
    ………………9分
    當直線l不垂直x軸時
    設（1）知
    …………………………10分
    當且僅當，則取得“=”
    ……………………12分
    當k=0時，…………………………13分
    綜上，△OGH的面積的最小值為……………………14分
    21．（1）解：矩陣A的特征多項式為
        …………………………2分
    令，得矩陣A的特征值為……………………………3分
    對于特征值解相應的線性方程組得一個非零解，
    因此，是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量�！�5分
    對于特征值解相應的線性方程組得一個非零解，
    因此，是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。………………7分
    2．解：（1）兩圓的極坐標方程可化為
    ∴兩圓的直角坐標方程是………………4分
    （2）根據（1）可知道兩圓心的直角坐標是O1（1，0）和O2（0，a）
    ……………………7分
    3．解：（1）∵
    ∴當x<1時，3－2x>3，解得x<0；
    當1無解
    當x>2時2x－3>3，解得x<3.
    綜上，x<0或x>3，
    ∴不等式f（x）>3的解集為……………………4分
    （2）∵     
∴
    ∵恒成立
    ∴a<1，即實數a的取值范圍是………………………………7分
     
    
				
	
    
		
    


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