去掉“如圖”，變化多

韓曉宏

    一個(gè)幾何問(wèn)題，如果給出了圖形，那么除了直觀這一功能之外，還可能限制人們更廣泛的自由思考。下面就是一例：

    如圖1，⊙和⊙都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙交于C，與⊙交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙交于點(diǎn)E，與⊙交于點(diǎn)F。

    求證：CE∥DF

（初三《幾何》第83頁(yè)）

    證明：連結(jié)AB

    因?yàn)?ABEC是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＝∠E

    又 ADFB是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＋∠F＝180°

    所以 ∠E＋∠F＝180°

    故 CE∥DF

    這個(gè)題并不難，但是，若去掉“如圖”二字，然后依據(jù)題意畫(huà)圖，便可發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足要求的圖形還不少：

    （1）公共弦兩邊各有兩點(diǎn)（三種，第一種如圖1，與課本圖相同）。

    （2）公共弦兩邊分別有一個(gè)點(diǎn)和三個(gè)點(diǎn)（兩種）。

    （3）四個(gè)點(diǎn)全在公共弦的同一側(cè)（兩種）。

    不管是哪一種情況，都可以通過(guò)連結(jié)AB，這條輔助線做出（當(dāng)然也有其它方法），用到的其它知識(shí)點(diǎn)也與圖1中的大同小異。但要構(gòu)造出這些圖形，尤其是通過(guò)分類(lèi)來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題，無(wú)疑可以訓(xùn)練思維；而且在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)一下包含的數(shù)學(xué)思想也十分重要。事實(shí)上，不少數(shù)學(xué)題目都可以用類(lèi)似的方法進(jìn)行更深一步的研究。尤其是一些幾何題，自由地變一下圖形，自由地?fù)Q一下條件，都可以得到一些新的東西，這也是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)研究數(shù)學(xué)，深入探究的一個(gè)好方法。