新高考來了，盡管大家對新高考有這樣那樣的看法，但是我們還是必須面對它，研究它.為了讓學(xué)生知道新高考考什么,對于教師來說，必須研究新高考的指導(dǎo)思想是什么?研究課程改革的理念, 研究新高考與課程改革的關(guān)系，研究新高考與原高考的區(qū)別等等,從而明確新高考考什么.
高考的方式,高考的內(nèi)容可以變, 但是用數(shù)學(xué)的思想,數(shù)學(xué)的方法去培養(yǎng)學(xué)生的能力這一數(shù)學(xué)教育目的沒有變, 因此,在數(shù)學(xué)高考的復(fù)習(xí)中, 用數(shù)學(xué)的思想,數(shù)學(xué)的方法去提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力還是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本方法，基本指導(dǎo)思想.
解題必須有思想的指導(dǎo),也就是說,數(shù)學(xué)解題的基本方法是具有思想性的. 數(shù)學(xué)的思想是數(shù)學(xué)基本方法的靈魂.
在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，有意識地揭示這些數(shù)學(xué)基本方法中所隱含的數(shù)學(xué)思想, 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中形成一些數(shù)學(xué)的觀點；在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成、完善過程中，有意識地用數(shù)學(xué)的觀點去觀察、分析數(shù)學(xué)問題，不斷地獲取、積累、深化這些數(shù)學(xué)的觀點，使這些數(shù)學(xué)的觀點能夠在數(shù)學(xué)思維中升華為數(shù)學(xué)意識,從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數(shù)學(xué)能力,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法之一,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.
例1．已知 
, 
,求 
的值.
分析(1) 
,
,在公式
中是聯(lián)系在一起的,由此,我們可以下面的解法.
解法(1) ∵ ,
∴ =
=
=8.
分析(2) 顯然由和要分別解出
的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變元,從而得的值,也就是說,消元就是解這個問題的指導(dǎo)思想,而且, 消元在代數(shù)式的求值中具有一般的指導(dǎo)意義.
解法(2) ∵ , ,
∴ 
, 
,
∴ =
=
=
=8.
例2. 設(shè)
，求證：
.
證明方法(一):
=
=
(1)
>
故成立.
證明方法(二)
==
∴ 
=
=
故成立.
問題: ①表達(dá)式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關(guān)系?
例3．化簡：
.
分析: 這是一個極容易的化簡題, 學(xué)生很可能盲目地獲得結(jié)果.我們要問: 解本題的指導(dǎo)思
想是什么?
先看下面兩個解法:
解法(一): 原式=
=
=
=
=1
解法(二): 原式=
=
=1
說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達(dá)形式與公式掛鉤不容易, 因此，這一種方法的
技巧性較強.證明方法(二)的指導(dǎo)思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數(shù)名稱,② 減少角的表達(dá)形式.
由證明方法(二)的指導(dǎo)思想還可以獲得以下證明方法:
解法(三) 原式消元成只含
的表達(dá)式而被化簡.
原式=
=
=1
解法(四) 原式消元成只含
的表達(dá)式而被化簡.
原式=
=
=1
例4．已知圓
，直線
過定點A (1，0)．
(1)若與圓相切，求的方程；
(2)若與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又與
的交點為N，判斷
是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由.
(1) 解：①若直線的斜率不存在，即直線是
，符合題意．
②若直線斜率存在，設(shè)直線為
，即
．
由題意知，圓心(3，4)到已知直線的距離等于半徑2，即： 
，
解之得 
.
所求直線方程是，
?！ ?
(2) 解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為
由
得
．
又直線CM與垂直，由
得
．
∴ 
為定值.
故是定值，且為6.
解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為.
由 得．
再由
得
．
∴ 
得．
以下同解法一．
解法三：用幾何法，
如圖所示，△AMC∽△ABN，則
，可得
，是定值．
說明: 顯然, 由于應(yīng)用了平面幾何知識, 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔.
例5． 雙曲線
的離心率為
，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線
交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準(zhǔn)線于M、N兩點.
(1) 若
，求直線的斜率；
(2) 證明：M、N兩點的縱坐標(biāo)之積為
.
解: (1)解：設(shè)
，
∵ 雙曲線的離心率為，
∴ 
，雙曲線方程為
，
∵ 
， ∴
，
∵ 直線為
, ∴ 
，
∵ 點Q是雙曲線上一點， ∴ 
，整理得，
解得
.
(2)證明：設(shè)
由題設(shè)可知:直線
的方程為
,直線
的方程為
.
∴ 
，
∴ 
，
由
得
∴ 
，
，
∴ 
.(k不存在要作特殊處理)
例6． (揚州市2008屆高三第二次調(diào)研測試)
已知圓C：
，直線
，且直線與圓C交于
，點
滿足
.
(1) 當(dāng)
時,求
的值;
(2) 若
,求
的取值范圍.
解：(1)當(dāng)時,點在圓上，故當(dāng)且僅當(dāng)直線過圓心
時滿足，
∵ 圓心的坐標(biāo)為(1，1)，
∴ 
.
設(shè),
由
消去
可得,
,
, 
,
∵ , ∴ 
,
∴ 
, 
,
即 
,
∴ 
,
方法(1) 對進行整理
,
方法(2) 對進行整理,
令
, 則函數(shù)
的圖象與軸在
上有公共點,若,則
,故不可取.
故
∴ 
或
或
或
或
顯然, 方法(1)和(2)不易求解.
方法(3) 由
得,
① 令
(
)
∴ 
, 
, 
,
, 
∴ 2<
,
解得,
或
② 令 
,則
∴ 在上為單調(diào)減函數(shù),
∴ 
∵ =
∴ 2
,
2
,
解得,或
例7．蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2007年第二次模擬考試題(題20)
已知點
都在橢圓
(
)上，
分別過兩個焦點
，當(dāng)
時，有
成立.
(1)求此橢圓的離心率;
(2)設(shè)
,
,當(dāng)點A在橢圓上運動時,
求證: 
始終是定植.
分析: 本題是一個求值的問題. 在高中數(shù)學(xué)中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數(shù)表達(dá)式,對表達(dá)式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數(shù)表達(dá)式的方法有兩種:
(1) 解: 當(dāng)
時，
，
∴ 
, 
,
∴ 
.
由橢圓的定義,得
, ∴ 
, 
在直角三角形
中,
∵ 
,
∴ 
∴
.
(2) 解：由
可知,
, 故橢圓的方程可化為
,焦點為
.
設(shè)
,
,
.
方法① 
.當(dāng)直線
的斜率存在時,
方法(1)直線的方程為
,代入橢圓方程,得
,
∴ 
, 
,
∵ , ∴ 
, 
,
同理可得, 
,
∴ 
+
,
∴ 
.
方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得
-
,
.
∵ ,
∴ 
, 
,
,
∴ 
,
同理可得, ,
∴ +=
.
.當(dāng)直線的斜率不存在時,
,
.
綜上所述, 是定值.
方法② ∵ ,, ∴ 
,
,
∴ 
∴ 兩式相減可得, 
,
(∵
, 
.
同理可得, 
, ∴
.
.當(dāng)直線的斜率不存在時,, .
綜上所述, 是定值.
例8．(宿遷市2007屆高三年級第四次考試)21題
由原點O向曲線
引切線，切點
異于點O，再由點引此曲線的切線，切點
異于點，如此繼續(xù)下去，得到點列
.
(1) 求
;
(2) 求證數(shù)列
為等比數(shù)列.
(1) ∵, ∴ 
∴ 過原點O, 切點為的切線方程為
,
∴ 
消去
得, 
∵ 
∴ 
.
(2) 證明: 設(shè)過點
的直線與曲線切于點
,
則切線方程為
∴ 
∵ 
,
∴ 
∴ 
, 
∵, ∴ 
,
∴數(shù)列是以
為首項,
為公比的等比數(shù)列.
例1. 已知等比數(shù)列{
}的各項為正數(shù), 數(shù)列{
}滿足
(
>0且
1),
=18, 
=12.
(1) 求數(shù)列{}的通項公式;
(2) 試判斷是否存在正整數(shù)
,使得當(dāng)
>時, >1恒成立,并說明理由; (0<<1)
(3) 當(dāng)>12時,
求證:
+ 
+
+...+
<
.
解：(1)∵ 數(shù)列{}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，∴ 當(dāng)
2時，
=
-
=
為常數(shù)，
∴ 數(shù)列{}為等差數(shù)列。
∵ =18, =12， ∴=-2+24
.
(2) 由(1)知, =-n+12.
① 若01,則當(dāng)12時,
1;當(dāng)=12時, =1;當(dāng)
12時,
1,故當(dāng)01時,存在=12,當(dāng)12時,
1.
② 若1,則當(dāng)12時,
1;當(dāng)=12時, =1;當(dāng)12時,
1,故當(dāng)01時,不存在,當(dāng)時, 1.
(3) 方法(一)
當(dāng)
14時
+ 
+
+...+
=
]
<
=
[
+
]
=
[
]
[
]=
.
=
=
=
=
< 
當(dāng)=13時,
+ 
+
+...+
=
<
=
=
=
綜上所述, 當(dāng)
13時, 
+ +
+...+<
.
方法(二)
設(shè)
=+ ++...+，則
= 
+
+
+...+
∴-=
+
-=
<
=
<0 .
∴< ,
即{ }單調(diào)遞減,
∴
<
.
例2. 已知數(shù)列
滿足: 
.
(1)
證明: 數(shù)列
成等比數(shù)列;
(2)
證明: 
.
(1) 證明: ∵ 
,
∴ 
, 
∵ 
∴ 數(shù)列 是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列.
(2) 證明方法①：
由(1)可知, 
∴ 
,
解得: 
.
證明方法②：由(1)可知, 
< 
< 
<
∴ 
=
=
<
直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個基本圖形在已知平面內(nèi)給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明.
證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個與已知平面相交的平面而得到,而這個平面可以經(jīng)過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經(jīng)過過已知直線上兩點且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題)
例3．四棱錐
的底面是平行四邊形, 點在棱SA上,點
在BD上,且
, 求證: 
∥平面
.
例4．正三棱柱
中，E為AC的中點.求證: 
‖平面
.
分析: 先利用圖形(1)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
本例中與直線、平面都相交的直線有
、
、
、
.
① 與確定平面
，
顯然點
是平面與平面的一個公共點,
延長
、
相交于點F,連結(jié)BF，則直線BF就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
② 與確定平面
,
顯然點E是平面與平面的一個公共點,
連結(jié)
,設(shè)直線與直線
的交點為G, 連結(jié)EG,則直線EG就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
③ 與確定平面，顯然點是平面與平面的一個公共點,因此,這時的證明方法與①相同.
④ 與確定平面
,
顯然點
是平面與平面的一個公共點,延長
到
,使
,連結(jié)
,則
就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
下面再利用圖形(2)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
① 直線AC是過點A且與平面相交于點E的一條直線,下面我們在給出一條過點
且與AC平行、與平面相交的另一條直線.
在平面
內(nèi)過點作
‖
,過點作
,連結(jié) 
,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
② 直線AB是過點A且與平面相交于點B的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AB平行、與平面相交的另一條直線.
在平面內(nèi)延長
到T,使
=,連結(jié)
、
,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
本例也可以利用面面平行的性質(zhì)證明‖平面.
取的中點F, 連結(jié)AF、B1F，證明平面
‖平面，就可得‖平面.
本例也可以用基底向量法給出證明.
證明: 取
為一組基底.
,
, 
=
,
設(shè)
=
, 則=(
)
=
∴ 
∴
, 
,
∴ =-+ ,
∴‖平面.
例1．求函數(shù)
在
上的最小值為-2，求實數(shù)的取值 .
例2．已知函數(shù)
的最小值是
，求實數(shù)的取值 .
解：若
,則函數(shù)的定義域為[0,+
),且為增函數(shù),故
,得
;
若
,則函數(shù)的定義域為[-a,+),且為增函數(shù),故
,得
,
∴ 
.
例3． (鹽城市2008屆高三第一次調(diào)研卷)題12
已知函數(shù)
在
的最大值為
,求實數(shù)的取值 . 
例4． (蘇州市2008屆高三第一次調(diào)研測試)題19
某商店經(jīng)銷一種奧運會紀(jì)念品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且沒賣一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交(為常數(shù),
)元的稅收.設(shè)每件產(chǎn)品的日銷售價為
元,根據(jù)市場調(diào)查, 日銷售量與
為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例.已知每件產(chǎn)品的日銷售價為40元時, 日銷售量為10件.
(1)
求該商店的日利潤
元與每件產(chǎn)品的日銷售價元的函數(shù)關(guān)系式;
(2)
當(dāng)沒件產(chǎn)品的日銷售價為多少時, 該商店的日利潤最大,并求出的最大值.
解: (1) =
;
(2) 
=
∵ , ∴ 
①
若
,則
, 
(當(dāng)且僅當(dāng)
是
取等于號),
這時,函數(shù)在
上為減函數(shù), 的最大值為
,即10
;
②
若
,則
,當(dāng)
時, 
,當(dāng)
時, ,
這時, 函數(shù)在
上為增函數(shù), 在
上為減函數(shù),故函數(shù)的最大值為
,即
∴ 
例5．求函數(shù)
的最小值.
例6．設(shè)a為實數(shù), 函數(shù)
.
(1) 討論函數(shù)
的奇偶性; (2) 求的最小值.
解(1): 若函數(shù)為奇函數(shù)，
則
+=0，即(
)+(
，這是不可能的，故函數(shù)不可能為奇函數(shù).
若函數(shù)為偶函數(shù)，
則-=0，即()-(，
∴ 等式
對任意
都成立, 故
,即時函數(shù)為偶函數(shù).
(2) 函數(shù)可以化為
方法(一) (整體求解)
① 若
，則函數(shù)在
是減函數(shù),在
上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
.
② 若
,則函數(shù)在
是減函數(shù),在
上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
.
③ 若
，則函數(shù)在
是減函數(shù),在
上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
.
方法(二) (分段討論)
?、?當(dāng)
時, 
,
若 
,則函數(shù)在是減函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
,
若,則函數(shù)的最小值為.
② 當(dāng)時, 
,
若 ,則函數(shù)的最小值為.
若
,則函數(shù)在是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為
,
∴ 若，則函數(shù)的最小值為;
若,則函數(shù)的最小值為;
若,則函數(shù)的最小值為.
例7．求使關(guān)于的不等式
在
恒成立的實數(shù)的取值范圍.
例8．若不等式
對任意的正整數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 . 
例9．已知二次函數(shù)
，對于
，
成立，試求實數(shù)的取值范圍.
解: 由題設(shè)可知, 
,
① 若
, 則
;
② 若
, 則
,
∴ 
, 
,
.
例10． (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題20
已知數(shù)列
是公差為
的等差數(shù)列,它的前項和為,
.
(1)
求公差的值;
(2)
若
,求數(shù)列
中的最大項和最小的項;
(3)
若對任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
解：(1)∵ 
∴ 
，解得，
.
(2)
若,則
,
∴ 
=
∴ 當(dāng)
時,
取最大值3, 當(dāng)3時,取最大值-1.
(3) 
=1+
,
∵ , ∴ 1+
1+
, ,
方法①：
若
，則
，
，∴ 
；
若
，則
若，則
，
.
綜上所述, .
方法②：考慮函數(shù)
由此可知, 
, ∴ .
例11． (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題18
某建筑的金屬支架如圖所示,根據(jù)要求至少長2.8
,為的中點,到
的距離比
的長小0.5,
.已知金屬支架每米的價格一定,問怎樣設(shè)計,的長, 可使建造這個支架的成本最低?
解：設(shè)
則
，
由題設(shè)可知，在
中，
.
設(shè)
,
方法①：則由知，
，
∴ 
=
(當(dāng)且僅當(dāng)
即
時等于號成立)
=7
這時
，即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法②：.
,
則
，
，
， 
，
∵ 
， ∴
.
當(dāng)
時, 
, 即
,
, 
,
,故7為的最小值. 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法③：.
,
則，
令
，則函數(shù)
的圖象與軸在
上有公共點.
∴ 
或
解得,
或
,即.
當(dāng)時, ,, 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.