1.(北師大版第59頁A組第2題)正弦定理與余弦定理
在中,若 ,則.
A. B. C. D.
變式1:在中,若 ,,,則__________.
答案:1或3
變式2:在中,若 ,,,則此三角形的周長為__________.
答案:
變式3:已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,S是△ABC的面積.若a=4,b=5,S=5,求c的長度.
解:∵S=absinC,∴sinC=,于是∠C=60°或∠C=120°
又∵c2=a2+b2-2abcosC,
當(dāng)∠C=60°時,c2=a2+b2-ab,c=
當(dāng)∠C=120°時,c2=a2+b2+ab,c=
∴c的長度為或
2.(北師大版第63頁A組第6題)三角形中的幾何計(jì)算
在中,,,的平分線交過點(diǎn)且與平行的線于點(diǎn).求的面積.
變式1:已知的周長為,且.
(I)求邊的長;
(II)若的面積為,求角的度數(shù).
解:(I)由題意及正弦定理,得,
,
兩式相減,得.
(II)由的面積,得,
由余弦定理,得
,
所以.
變式2:△ABC中,則△ABC的周長為( ).
A. B.
C. D.
解:在中,由正弦定理得:化簡得:AC=
,化簡得:AB=,
所以三角形△ABC的周長為:3+AC+AB=3++
=3+
故選D
變式3:在,求(1)(2)若點(diǎn)
解:(1)由得:
,
由正弦定理知: ,
(2),
由余弦定理知:
3.(北師大版第69頁練習(xí)2第2題)解三角形的實(shí)際應(yīng)用
某觀察站B在城A的南偏西的方向,由A出發(fā)的一條公路走向是南偏東,在B處測得公路上距B31km的C處有一人正沿公路向A城走去,走了20km之后到達(dá)D處,此時B,D間的距離為21km。這個人要走多少路才能到達(dá)A城?
變式1:如圖,當(dāng)甲船位于A處時獲悉,在其正東方向
相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船
立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30,
相距10海里C處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少
度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)?
解析:連接BC,由余弦定理得:
BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.
即BC=10
∵,
∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90°,∴.
∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.
變式2:如圖,測量河對岸的塔高時,可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)與.現(xiàn)測得,并在點(diǎn)測得塔頂的仰角為,求塔高.
解:在中,.
由正弦定理得:.
所以.
在中,.
變式3:如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?
解法一:如圖,連結(jié),由已知,
,
,
又,
是等邊三角形,
,
由已知,,
,
在中,由余弦定理,得:
.
.
因此,乙船的速度的大小為(海里/小時).
答:乙船每小時航行海里.
解法二:如圖,連結(jié),由已知,,,
,
.
在中,由余弦定理,
.
.
由正弦定理,得:
,
,即,
.
在中,由已知,由余弦定理,得:
.
,
乙船的速度的大小為海里/小時.
答:乙船每小時航行海里.
4.(北師大版第60頁A組第4題)三角函數(shù)圖像變換
將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像?
變式1:將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像?
解:(1)先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到函數(shù)的圖象;
(2)再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;
(3)再將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.
變式2:將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像?
解:(1)先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來的(橫坐標(biāo)不變),即可得到函數(shù)的圖象;
(2)再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;
(3)再將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.
變式3:將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像?
解:
另解:
(1)先將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象;
(2)再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;
(3)再將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變),即可得到函數(shù)的圖象.
5.(北師大版第60頁B組第1題)三角函數(shù)圖像
函數(shù)一個周期的圖像如圖所示,試確定A,的值.
變式1:已知簡諧運(yùn)動的圖象經(jīng)過點(diǎn),則該簡諧運(yùn)動的最小正周期和初相分別為( )
A., B.,
C., D.,
答案選A
變式2:函數(shù)在區(qū)間的簡圖是( )
答案選A
變式3:如圖,函數(shù)
的圖象與軸交于點(diǎn),且在該點(diǎn)處切線的斜率為.
求和的值.
解:將,代入函數(shù)得:
,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384117_1/image176.gif">,所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384117_1/image178.gif">,,,所以,
因此.
6.(北師大版第60頁A組第6題)三角函數(shù)性質(zhì)
求下列函數(shù)的最大、最小值以及達(dá)到最大(小)值時的值的集合.
(1) ; (2)
變式1:已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,則的最小值等于 ( )
(A) (B) (C)2 (D)3
答案選B
變式2:函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
答案選A.因?yàn)楹瘮?shù)y=2x為增函數(shù),因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.
變式3:關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題:
①對任意的,f(x)都是非奇非偶函數(shù);
②不存在,使f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);
③存在,使f(x)是奇函數(shù);
④對任意的,f(x)都不是偶函數(shù)。
其中一個假命題的序號是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時,該命題的結(jié)論不成立。
答案:①,kπ(k∈Z);或者①,+kπ(k∈Z);或者④,+kπ(k∈Z)
解析:當(dāng)=2kπ,k∈Z時,f(x)=sinx是奇函數(shù).當(dāng)=2(k+1)π,k∈Z時f(x)=-sinx仍是奇函數(shù).當(dāng)=2kπ+,k∈Z時,f(x)=cosx,或當(dāng)=2kπ-,k∈Z時,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的.無論為何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).①和④都是假命題.
7.(北師大版第66頁B組第2題)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
已知,求.
變式1:已知,求的值.
解:∵ ,
∴
即
∴ 當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
變式2:已知,那么角是( ).
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
答案選C.
變式3:是第四象限角,,則( ).
A. B. C. D.
答案選D.
8.(北師大版第132頁A組第4題)兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)
已知,,求,的值.
變式1:在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
(Ⅰ)解:在中,,
由正弦定理, .
所以.
(Ⅱ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384117_1/image216.gif">,所以角為鈍角,從而角為銳角,
于是,
,
.
∴
.
變式2:在中,,.
(Ⅰ)求角的大?。?/p>
(Ⅱ)若最大邊的邊長為,求最小邊的邊長.
解:(Ⅰ),
.
又,.
(Ⅱ),
邊最大,即.
又,
角最小,邊為最小邊.
由且,
得.由得:.
所以最小邊.
變式3:已知,且,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
解:(Ⅰ)由,得
∴,于是
(Ⅱ)由,得
又∵,∴
由得:
所以.
9.(北師大版第144頁A組第1題)三角函數(shù)的簡單應(yīng)用
電流I隨時間t 變化的關(guān)系式,,設(shè) ,.
(1) 求電流I變化的周期;
(2) 當(dāng)(單位)時,求電流I.
變式1:已知電流I與時間t的關(guān)系式為.
(1)右圖是(ω>0,)
在一個周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式;
(2)如果t在任意一段秒的時間內(nèi),電流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數(shù)值是多少?
解:(1)由圖可知 A=300.
設(shè)t1=-,t2=,
則周期T=2(t2-t1)=2(+)=.
∴ ω==150π.
又當(dāng)t=時,I=0,即sin(150π.+)=0,
而, ∴ =.
故所求的解析式為.
(2)依題意,周期T≤,即≤,(ω>0)
∴ ω≥300π>942,又ω∈N*,
故最小正整數(shù)ω=943.
變式2:如圖,某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似
滿足函數(shù)y=Asin(ωx+)+b.
(Ⅰ)求這段時間的最大溫差;
(Ⅱ)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.
解:(1)由題中圖所示,這段時間的最大溫差是:
30-10=20(℃).
(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+)+b的半個周期的圖象,
∴.=14-6,解得ω=.
由圖示,A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.
這時y=10sin(x+)+20.
將x=6,y=10代入上式,可取=.
綜上,所求的解析式為y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]
變式3:如圖,單擺從某點(diǎn)給一個作用力后開始來回?cái)[動,
離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數(shù)關(guān)系
為.
(1)單擺擺動5秒時,離開平衡位置多少厘米?
(2)單擺擺動時,從最右邊到最左邊的距離為多少厘米?
(3)單擺來回?cái)[動10次所需的時間為多少秒?
10.(北師大版第150頁B組第6題)三角恒等變換
化簡:.
變式1:函數(shù)y=的最大值是( ).
A.-1 B. +1 C.1- D.-1-
答案選B
變式2:已知,求的值.
解:∵ ,
∴
即 ?。?/p>
變式3:已知函數(shù),.求的最大值和最小值.
解:
.
又,,即,
.